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Bienvenidos a la presentación de Sistemas de Equaciones Lineales.
Empecemos y veamos de que se trata.
Digamos que tengo dos equaciones ahora.
La primera equación, escribámosla como 9x - 4y
igual a -78
Y la segunda equación la escribiré como
4x + y igual a -18
Lo que vamos a hacer ahora es que vamos a
usar ambas equaciones para resolver 'x' y 'y'.
Ya sabemos que si tienes una equación, que tiene
una variable, es muy fácil resolver con una variable.
Pero ahora tenemos dos equaciones.
Casi que puedes verlas como dos restricciones.
Y vamos a resolver ambas variables.
Y puedes estar un poco confundido.
Cómo funciona eso?
Será como magia que dos ecuaciones de
dos variables puedan resolverse?
Pues no.
Porque realmente puedes reorganizar cada una de estas
equaciones de tal manera que se vean como
en la forma normal de y = mx + b.
Y no voy a dibujar estas dos equaciones porque
yo no se como se verán, pero si este fuera el eje de
la coordenada x--y no sé cómo aparecerá la primera línea realmente,
podríamos hacer otro modelo donde podemos deducirlo,
pero digamos que como hipótesis, que en la primera línea todas
las x's y y's que satisfacen 9x - 4y = -78,
digamos que se parece a algo como esto.
Y digamos que todas las x's y y's que satisfacen
esa segunda equación, 4x + y = -18, digamos
que se parecen a algo como esto.
Cierto?
Entonces, en la línea están todas las x's y y's que satisfacen esta equación
y en la línea verde están todas las x's y y's
que satisfacen esta equación.
Pero hay sólo un par de x's y y's que satisfacen a ambas
equaciones. Y puedes adivinar que donde eso
sucede, eso es precisamente aquí.
Cualquiera que sea ese punto--lo haré en rosado para dar énfasis.
Cualquiera que sea este punto, observa que está en ambas líneas.
Entonces cualquiera que sean x y 'y', esa sería la solución
a este sistema de equaciones.
Entonces averiguemos como hacerlo.
Lo que queremos hacer es eliminar una variable,
porque si puedes eliminar una variable, podemos
resolver la otra que queda.
Y la forma de hacerlo--veamos, quiero eliminar,
se me ocurre eliminar esta y, y pienso que
podrás intuir de como hacer eso más tarde.
Y la forma como lo voy a hacer es que voy a hacerlo
de tal manera que cuando tengo esto con esto, se cancelan.
Bueno, no se cancelan inmediatamente. Entonces tengo que
multiplicar esta equación de abajo por 4, y pienso que será
obvio por qué lo estoy haciendo.
Multipliquemos esta equación de abajo por 4.
Y obtengo 16x + 4y igual a 40 más 32 es -72.
Cierto?
Todo lo que hice fue que multipliqué ambos lados
de la equación por 4, cierto?
Y tienes que multiplicar cada término porque
es la propiedad distributiva a ambos lados.
Cualquier cosa que hagas a un lado lo tienes que hacer al otro.
Reescribamos la equación de arriba.
Y la escribiré en el mismo color para seguirle
el curso a las cosas.
9x - 4y es igual a -78.
Bueno, ahora si fuéramos a sumar estas dos equaciones, cuando
sumas equaciones, sumas el lado izquierdo
y sumas el lado derecho.
Bueno cuando sumas, tienes 16x + 9x.
Bueno, eso es igual a 25x.
Cierto?
16 + 9.
4y - 4y, eso es justamente 0.
Entonces eso es mas 0 y entonces tenemos -72 - 78.
Vemos que eso es -150, es -150, cierto?
Justamente sumándolos todos juntos.
Entonces tenemos 25x = 150.
Bueno, puedemos dividir ambos lados por 25 o multiplicar ambos
lados por 1/25, que es la misma cosa.
Y obtienes x es igual a--eso es -150,
x es igual a -6.
Ahí resolvimos la coordenada x.
Ahora para resolver la coordenada y, podemos usar cualquiera de
estas equaciones de aquí arriba.
Usemos ésta. Parece un poco
marginalmente más sencilla.
Sólo tenemos que substituir el x de ahí y tenemos
4 veces -6 más y es igual a -18.
Vamos aquí arriba.
4 veces -6 nos da -24 + y es igual a -18.
Y entonces tenemos que y es igual a 24 - 18.
Entonces y es igual a 6.
Entonces estas dos líneas o estas dos equaciones, podrías inclusive decir que
se intersectan en el punto donde x es -6 y 'y' es +6.
Entonces las líneas se intersectan en algún lugar cerca de aquí más bien.
Dibujé éstas, la línea probablemente parecía más bien como así.
Pero eso es genial, no?
Realmente resolvimos dos variables usando dos equaciones.
Veamos que tanto tiempo me queda.
Creo que tenemos suficiente tiempo como para otro problema.
Entonces digamos que tengo los puntos--y voy a escribirlos en
dos colores distintos de nuevo-- -7x -4y es igual a 9,
y la segunda equación va a ser x +
2y igual a 3.
Ahora, si hicieramos esto lo más rápido posible, probablemente
multiplicaría esta equación por 7 y
automáticamente se cancelaría.
Pero esa es la forma fácil.
Voy a mostrarte que algunas veces tendrás que
multiplicar ambas equaciones--en realidad no, en este caso.
Hagámoslo en la forma rápida, bien rápido.
Multipliquemos esta equación de abajo por 7.
Y la razón total por qué lo quiero hacer, multiplicarlo con 7,
es porque quiero que esto se cancele con esto.
Si lo multiplicas por 7, tienes 7x + 14y = 21.
Escribamos esa primera equación de nuevo.
-7x - 4y = 9.
Ahora sólo sumamos.
Este es 7x, siempre parecerá como negativo.
Bueno, eso es 0.
14y - 4y es 10y es igual a 30.
'y' es igual a 3.
Ahora sólo substituimos en cualquiera de las ecuaciones.
Hagámoslo con ésa.
x + 2 veces y, 2 veces 3.
x + 6 es igual a 3.
Tenemos que x es igual a -3.
Esa fue super fácil.
La intersección.
Espero que no lo haya hecho muy rápido.
Bueno, puedes hacer una pausa al video y mirarlo de nuevo, si lo necesitas.
Bueno, estas dos líneas se intersectan en el punto
-3, 3.
Hagamos una más.
Espero que ésta sea más difícil.
Creo que lo será.
Bueno, -3x - 9y es igual a 66.
Tenemos -7x + 4y es igual a -71.
Aquí no se vé obvio.
Lo que tenemos que hacer es, digamos que queremos cancelar
las y's primero.
Lo que hacemos es que tratamos de hacer que ambos sean igual
al común múltiplo de 9 y 4.
Entonces si multiplicamos la equación de arriba por 4, obtenemos...
Lo haré aquí.
Multipliquemoslos por 4,
veces 4.
Nos da -12x - 36y igual a 4 veces
240 + 24 es 264.
Correcto, espero que esté correcto.
Multiplicamos la segunda ecuación por 9.
Entonces es -63x + 36y es igual a, veamos, 639.
Números grandes!
639.
Bueno, ahora sumemos las dos ecuaciones.
-12 - 63, eso es -75x--estas se cancelan--igual a
264. Veamos lo que es 639 - 264.
Ves, estoy haciendolo en tiempo real.
No uso ninguna clase de manual de soluciones o algo por el estilo.
13 y 5, 70.
No sé si lo hice bien, pero lo veremos.
Como es realmente el negativo de 639, este es
-375, y yo sé que 75 va en 300 cuatro
veces, entonces x es igual a 5.
75 veces 5 es 375.
Sólo dividimos ambos lados por 75.
Entonces si x es 5, sólo lo substituimos en las ecuaciones.
Usemos esta equación.
Así que obtenemos -3 veces 5 menos 9y es igual a 66.
Tenemos que -15 - 9y es igual a 66.
-9y es igual a 81.
Y entonces tenemos que y es igual a -9.
Entonces la respuesta es 5,-9.
Creo que ya estás listo para resolver algunos sistemas de equaciones.
Diviértete.