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Hoy vamos a contar hasta el infinito. Aunque contar pueda parecer básico, como, cuando decimos que
tenemos cinco ovejas, lo que queremos decir es que tenemos una oveja para cada número del uno al
cinco. Y diez ovejas quiere decir una por cada número del uno al diez… o del dos al once.
Así que decimos que dos conjuntos tienen el mismo número de cosas en ellos, simplemente si puedes dibujar
una línea relacionando cada objeto de un conjunto a algo del otro, y viceversa, exactamente una vez.
¡Son compañeros!
Es lo mismo que cuando decimos que dos más uno es igual a tres, o que tres no es cuatro:
sólo estamos describiendo las líneas que dibujas para relacionar un conjunto de cosas a otro. Pero de cualquier
manera, contar ovejas es aburrido, esto es, a no ser que quieras contar INFINITAS ovejas.
Como, si tuvieras una oveja para cada número entre 0 y 2, ¿habría más ovejas
que si tuvieras una para cada número entre 0 y 1? ¡No! Porque puedes relacionar cada
número entre 0 y 1 a su doble, resultandp en cada número entre 0 y 2 (y si
quieres "deshacer", puedes simplemente dividir los números entre 0 y 2 por la mitad para recuperar
todos los números entre el 0 y el 1).
Pero hay más números reales entre el 0 y el 1 que los que hay en el infinito conjunto de
números enteros 1, 2, 3, 4... ¿Cómo podemos saberlo? Dibuja líneas. Para
"1", dibuja una línea a un número entre 0 y 1. Y para el "2", dibuja una línea a otro número
entre cero y uno. Para "3", dibuja una línea a un número entre... cero y uno. Y así
sucesivamente. PERO, no importa a qué numeros entre 0 y 1 le hayamos dibujado líneas, siempre podemos
escribir un número entre 0 y 1 que no coincide con el primer dígito aquí, y el segundo
dígito aquí, y el tercer dígito aquí, y así sucesivamente… así que este nuevo número será diferente
a TODOS los otros números a los que le hayamos dibujado líneas. Pero ya hemos dibujado una línea por cada
número entero, ¡así que no queda ninguno para ser el compañero de este número!
Y lo que es más, por la inteligente forma en que lo hemos construido, podemos encontrar otro número solitario
como éste sin importar qué otros números elegimos, lo que significa que NUNCA podemos dibujar líneas
de los números enteros a todos los número entre 0 y 1 con sólo una línea por número entero…
Y esto significa que hay más números reales entre 0 y 1 de los que hay
en el infinito conjunto de contar números 1, 2, 3, 4, y así para siempre.
Así que, Hazel Grace, algunas infinidades verdaderamente son más grandes que otras infinidades.