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Hagamos algunos problemas escritos que esencialmente tratan
con la pendiente de una línea.
Es posible que a estos se les conozca como
modelos de variación directa, porque vamos a modelar lo que esta
siendo descrito en este problema
Vamos a gráficarlo y despues esperemos que podamos
ser capaces de responder la pregunta.
Veamos que es lo que estan preguntando.
El estándar actual de una regadera de flujo bajo es de 2,5
galones por minuto.
Calcula cuánto tiempo tomaría llenar una bañera
de 30 galones utilizando esa regadera
para suministrar agua.
Lo que podemos hacer aquí es que podemos establecer un modelo de variación directa,
el cual suena muy elegante, pero que simplemente dice, OK,
vamos a configurar una pequeña ecuación que describe cuántos
galones habríamos llenado, o cuántos galones habriamos
utilizado después de un cierto número de minutos.
Así que digamos que tenemos, galones igual a la tasa
a la que llenamos los galones.
Así va a ser 2,5 galones por minuto, por el
número de minutos.
Dire, que m sera minutos y g sera galones.
Acabamos de crear nuestro modelo de variación directa.
No es nada más elegante que eso.
Ahora tenemos una ecuación que describe, me das el
número de minutos, y multiplicare eso por 2.5
porque eso es que tan rapido estamos llenando la bañera.
Por lo que despues de 1 minuto, 1 por 2.5, nos da 2,5 litros.
Después de 2 minutos, tenemos 2 por 2.5, tenemos 5 galones.
Este es nuestro modelo.
Y esto también es una línea.
Recuerda que la forma de una línea es y igual a mx mas b.
Aca no tenemos b.
La b se ha ido.
Sólo tenemos m por x.
X ahora la llamamos minutos y la y ahora la
llamamos galones y la pendiente ahora es 2.5.
Vamos a trazar esto antes de responder la pregunta.
En lugar de llamar a esto el eje x--recuerda x, la
variable independiente, es ahora los minutos
que dejamos fluir.
Por lo que ese es el eje m de minutos.
Y el eje vertical, en lugar de llamarlo el eje y, lo
voy a llamar el eje g, por el número de galones
que hemos llenado.
Sólo voy a trabajar en el cuadrante positivo, bajo el supuesto
que sólo se puede tener minutos positivos.
Entonces, ¿qué está pasando aquí?
Tenemos una pendiente de 2.5.
También podríamos escribir esto como galones igual a -- 2.5 es
lo mismo que 5/2 galones por minuto por los minutos.
Por lo que ahora sabemos que nuestra pendiente es 5/2.
Yo pude haber usado 2.5 tambien, pero me gusta 5/2.
Nuestra intercepción y ya sabemos que es 0.
No hay ninguna intercepción y aquí.
Podría hacer esto como más 0.
Entoces se comienza por aca en el origen.
Esa es nuestra intercepción y.
Y por cada 2 que nos movamos a la derecha, nos desplazamos 5 hacia arriba.
Así que nos movemos - cambio en x es 2.
Uno, dos, tres, cuatro, cinco.
Cambio en x es 2.
Uno, dos, tres, cuatro, cinco.
Si el cambio en x es 2 negativo, entonces el cambio en y, será
5 negativo.
2 Negativo.
Uno, dos, tres, cuatro, cinco.
Y así sucesivamente, y así sucesivamente.
Finalmente llegaremos aca.
Así que nuestra línea, nuestro modelo si lo gráficamos, tiene este aspecto.
Estoy haciendo mi mejor esfuerzo para pasar por todos los puntos.
En realidad, acabo de decir que sólo lo iba a hacer
en el primer cuadrante.
Realmente no tiene sentido en este cuadrante
porque no se puede tener minutos negativos.
O no deberían tener minutos negativos.
Así que solo debemos trabajar aca arriba.
Ahora están preguntando cuánto tiempo se tardara en llenar una
bañera de 30 galones?
Ahora, lamentablemente, mi gráfico aquí, no va hasta
30 galones.
Si lo hiciera-- esto aca es 10 galones.
Esto es 10 galones, si fuera 3 veces mas arriba, sólo podría
leer el gráfico.
Pero podríamos también solucionarlo de manera algebraica.
¿Cuántos minutos tarda?
Bueno, solamente pongamos nuestro galones iguales a 30.
Por lo tanto tienes 30 galones igual a, voy a ponerlo
en el mismo color, 2.5 galones por minuto por minutos.
Ahora, todo lo que tenemos que hacer para resolver para minutos es dividir
ambos lados por 2,5 galones por minuto.
Divide ambos lados por 2,5 litros por minuto.
Estoy haciendo las unidades para mostrar que las unidades
funciona al final.
Entonces esto se cancela.
Sólo se convertirá en un 1.
Así que el lado izquierdo--o podríamos decir m--va a
ser igual a 30 dividido por 2,5.
Tenemos galones en el numerador.
Quiero mostrarle, que puedes tratar con las unidades como
tratarias con números de verdad.
Y si tengo galones por minuto en el denominador, si
divido por esta fracción, eso es la misma cosa que
multiplicar por su inverso.
Es lo mismo que multiplicar
por minutos por galón.
¿Verdad?
Estas unidades se encontraban en el denominador.
Cuando las puse en el numerador, yo las voltéo.
Así que galones en el numerador, galones en el denominador.
Se cancelan.
Así que me quedo con 30 dividido 2,5 minutos.
Y ¿qué es 30 dividido 2,5?
Es igual a 12.
Por lo que nos toma 12 minutos llenar una bañera de 30 galones.
Tenemos nuestros minutos aqui.
12 minutos.
Hagamos uno mas.
Amen esta --no sé la mejor manera de
pronunciar este nombre -- utilizando una manguera--permítanme desplazarme un
poco--utilizando una manguera para llenar su nueva piscina
por primera vez.
Inicia a las 10 PM--permítanme escribir esto.
Comienza a las 10 PM--así que esta es la hora de inicio--y la deja
abierta toda la noche.
A las 6 AM, mide la profundidad y calcula
que la piscina esta 4/7 lllena.
Así que cuando comienza a las 10 PM--esto es tiempo y esto es
que tan llena esta la piscina.
Por lo que obviamente cuando inicia, la piscina está vacía.
Es una piscina nueva.
Nos dicen.
Que la piscina esta 0 llena.
Es 0, lo que sea.
No tiene agua en lo absoluto.
Despues a las 6 AM, mide la profundidad y calcula que la piscina
esta 4/7 llena.
Así que aquí esta 4/7 llena.
¿En qué momento la nueva piscina estará llena?
Por lo tanto queremos saber cuando está llena.
¿Cuando estara 1/1 llena?
Cuando este 7/7 llena.
¿A qué hora?
Así que para hacer esto, tenemos que hacer un modelo similar al que hicimos
la última vez.
Podríamos decir, la piscina llena es igual a alguna
constante por la cantidad de tiempo que pasa.
Sabemos que cuando el tiempo es igual a 0--permítanme ponerlo de esta manera.
Esto es tiempo.
Dejenme escribir esto aquí.
Esto es tiempo.
Esto es tiempo, 0.
¿Qué es esto en horas?
¿Esto es 8 horas más tarde, correcto?
Esto es tiempo 8.
No sabemos que es esto.
Esto es por algo mas.
Así que cuando el tiempo es 0 a las10 PM, 0 por k, tenemos que la piscina esta 0 llena.
No estamos llenos.
Cuando el tiempo es igual a 8, tenemos k por 8. k es la tasa
a la que estamos llenando la piscina.
k por 8.
Estamos 4/7 de llenos.
Por lo que ahora podemos realmente encontrar k.
Podemos averiguar cual es nuestra constante de proporcionalidad
para nuestro modelo de variación directa.
Suena muy sofisticado, pero todo lo que estamos diciendo es, mira,
el llenado de piscina puede ser modelado por una
ecuación como esta.
La cantidad en que se encuentra llena la piscina es directamente proporcional a
la cantidad de tiempo que dejamos la manguera abierta.
Y esta es la constante de proporcionalidad.
No sabemos que tan rapido se llena, pero ahora nosotros podemos encontrar
con qué rapidez se llena.
Porque sabemos que después de 8 horas se encuentra 4/7 llena.
Así que para encontrar k, divides ambos lados por 8 horas.
Por lo que obtenemos que k es igual a 4/7 lleno dividido 8 horas, que
es lo mismo que 4/7 por 1/8 lleno por hora.
Así que si calculamos esto, vamos a ver.
Divide por 4.
Divide por 4.
Así obtenemos 1/14 de llena.
Es una extraña unidad--llena por hora.
O se podría decir, que llenamos 1/14 de la piscina cada hora.
Por lo tanto k es 1/14.
Así que esta es nuestra ecuación--permítanme escribir aquí.
Que tan llena esta la piscina es igual a 1/14 por el tiempo.
Así que la pregunta que debemos responder es cuando
esto es igual a 1?
¿A qué hora?
Así que escribamos la ecuación.
Tenemos 1.
Esto significa que la piscina esta completamente llena.
Es igual a 1/14 por tiempo.
Si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 14, el
1/14 y el 14 se cancelan.
Y quedamos con t es igual a 14.
Por lo que la pisina se llenara despues de 14 horas.
Recuerda que todo con lo que tratamos fueron horas.
Si empezamos a 10 PM--que era hora 0--a qué hora estariamos
14 horas despues?
10 PM es en un día -- si nos fueramos hasta las 10 AM del día siguiente,
pasarian 12 horas.
Asi es como pienso.
Tenemos que ir 2 horas más para llegar a 14 horas.
Eso es mediodía del día siguiente.
Al mediodía del día después de que comienza a llenar la piscina es cuando
esta estara llena.
Podemos gráficar esto.
Tengo este papel milimetrado aca.
Grafiquemos todo lo que estoy hablando.
La ecuación--la escribí por aquí--que tan llena esta la piscina es igual a
1/14 por t.
Supongamos que cada una de estas lineas es dos.
Esto es dos, cuatro, seis, ocho, diez, doce, catorce.
Así que esto nos dice que a medida que corremos 14, nos elevamos 1.
Así que si el cambio de x es 14,el cambio de y es 1 positivo.
Voy a hacer estas unidades 1, 2.
Por lo que la escala no es exactamente perfecta.
Estoy distorsionando el gráfico un poco, pero esto es 1.
Así que el gráfico se vera parecido a esto.
Así de simple.
Tiene una pendiente de 1/14.
De todos maneras, espero que lo hayas encontrado util.