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JAMES GRIME: Hoy vamos a hablar de una pregunta
que recibimos mucho en Numberphile, y es
-- bueno, Brady, ¿cuál es la pregunta?
BRADY HARAN: La pregunta es: ¿Por qué 0 factorial es 1?
JAMES GRIME: Bien.
¿Por qué 0 factorial es 1?
Empecemos con un repaso
de qué es el factorial.
Para un número entero, digamos... n--
n factorial, que se escribe así: n con
un singo de admiración.
Esto es igual a
Multiplicar todos los enteros
menores o iguales que n.
Es n, multiplicado por n menos uno, multiplicado por n menos dos,
por...
y seguimos para abajo, llegamos a 3
por 2, por 1.
Ejemplo rápido.
Hagamos 5 factorial.
5 por 4 por 3 por 2 por 1.
Sacamos las cuentas.
120.
OK.
La pregunta que nos hicieron es ¿qué es 0 factorial?
Entonces, la manera en la que se puede responder--
(una de las maneras) es "para completar el patrón".
Completemos el patrón.
Este patrón en particular: 4 factorial, es igual a 5
factorial dividido 5.
¿Se ve? Si tomo 5 factorial acá y lo divido por
5, eso significa que vuelo ese 5,
con lo cual, lo que queda es 4 factorial.
Entonces, 5 factorial dividido 5 o 120 dividido 5
da 24.
Y eso es 4 factorial.
3 factorial va a ser 4 factorial dividido 4.
O sea, 24 dividido por 4.
Que es 6.
Y esa es la respuesta para 3 factorial.
2 factorial, 3 factorial dividido por 3, 6, que justo
acabamos de resolver, dividido 3, igual a 2.
1 factorial.
Otra vez.
Es 2 factorial dividido por 2.
2 factorial es 2 dividido 2.
Tenemos 2 dividido 2.
Que es igual a 1.
Ahora es cuando se pone emocionante.
¿Sienten la expectativa?
Entonces: 0 factorial.
Vamos a completar el patrón.
0 factorial es 1 factorial dividido 1.
1 factorial es 1.
Es 1 dividido por 1, y esto es igual a 1.
Entonces, 0 factorial es igual a 1.
Completamos el patrón.
BRADY HARAN: ¿Quién dice que hay que completar el patrón?
¿De dónde viene esa regla?
JAMES GRIME: Supongo que no necesariamente tiene que ser
un patrón que se complete.
Pero es un patrón que se completa.
Dejame ver otra forma de explicarlo.
BRADY HARAN: Dejame continuar con el patrón, primero.
¿Eso significa que menos 1
sigue en la secuencia?
JAMES GRIME: Veamos qué pasa.
No estoy seguro de qué va a pasar.
Probemos.
Menos 1 factorial.
Entonces, ¿qué debería tener?
0 factorial dividido por 0.
1 dividido 0.
BRADY HARAN: Oh, dividir por 0.
JAMES GRIME: Rompiste la matemática, Brady.
Basta.
Otra forma de explicar qué debería ser 0 factorial.
n factorial es la cantidad de maneras distintas
en las que se pueden ordenar n objetos.
Déjenme mostrarles lo que digo.
Tomemos algunos objetos.
Saco la billetera.
Voy a sacar algunas monedas.
¿Ven?
¿Quién dice que los matemáticos no ganan buena plata?
¡Hay literalmente 50p!
Tomemos una plateada y una de 5p.
Tenemos tres objetos, y ¿cuántas maneras distintas
de ordenar tres objetos?
Hay seis maneras de hacerlo.
Es 3 factorial.
Verifiquemos.
Ésta es una, dos, o podríamos haber tenido ésta acá--
con ésta tres, con ésta cuatro.
O podríamos tener--
creo que hay una que nunca estuvo al principio.
Con esto serían cinco y seis.
Si sacamos una, ahora tenemos dos objetos.
¿Cuántas maneras hay de ordenar dos objetos?
Ésta es una, con ésta dos.
Sacamos una.
¿Cuántas maneras hay de ordenar un objeto?
Ahí está.
Una única manera.
Una forma para ordenar un objeto.
Ahora vamos a sacar la última moneda.
Acá es cuando se pone un poco filosófica la cuestión.
Tenemos cero objetos.
¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 0 objetos?
Una única manera.
Ahí está.
¿Quieren verme hacerlo de nuevo?
Ahí está.
Ligeramente filosófico, pero decimos que hay una única manera de
ordenar 0 objetos.
Entonces, otra vez, el patrón se mantiene.
0 factorial es 1.
Sólo para llevar la idea un poquito más lejos,
ya que estamos hablando de factoriales veamos de graficarlos.
Digamos que tenemos uno, dos, tres, cuatro, cinco.
1 factorial es 1, entonces si llamamos a eso 1.
2 factorial es 2, en algún lugar de por acá.
3 factorial es 6.
No sé...
Por ahí... así.
4 factorial es 24, o sea que va a estar bastante
por acá arriba.
Y después 5 factorial se está yendo bastante arriba.
Si juntamos todo esto, además dije que
0 factorial es 1, así que lo agrego al gráfico.
Así que, en teoría, deberíamos poder encontrar los valores
intermedios, por ejemplo, digamos, el número 1 y 1/2.
1 y 1/2 factorial.
¿Cuál es el factorial de 1 y 1/2?
Así que los matemáticos lo hicieron.
Generalizaron la idea.
Y existe la idea de 1 y 1/2 factorial.
Se llama gamma.
Ésa es la letra griega gamma.
Le decimos gamma de.
Y la manera en que lo escribimos--
bueno, se está poniendo un poco sofisticado el asunto.
Decimos que gamma de n es igual a la integral entre 0
e infinito de--
elijamos alguno--
t elevado a la n menos 1, por e elevado
a la menos n, dn.
A algunos no les va sonar conocido.
A algunos sí.
A algunos no.
Es una idea matemática mucho más complicada, pero
esto coincide con los factoriales.
Pero además, devuelve valores intermedios.
Traza esta línea.
Hay algo que necesito decir.
Es un poco inseperado, pero si lo tomamos para un entero,
gamma de n, con n entero, esto en realidad devuelve
n menos 1 factorial, así que hay que tener cuidado.
Para tener en cuenta.
Medio un garrón.
Entonces, ¿para qué quiero una función que me calcule
factorials entre los números, si no se puede ordenar
1 objeto y 1/2?
Es una generalización, que resulta ser bastante útil
en varias cosas.
Particularmente, estoy pensando en probabilidad.
Se puede usar en fórmulas que aparecen en probabilidad
cuando estamos pensando en tiempo contínuo más que en
simplemente acomodar objetos en probabilidad discreta.
Ahora empezamos a pensar en eventos continuos.
El tiempo es el mejor ejemplo.
Entonces, empezamos a generalizar las ideas, y al fin de cuentas,
necesitamos un factorial generalizado.
BRADY HARAN: 9, 6, y 3.
20.
44.