Tip:
Highlight text to annotate it
X
JAMES GRIME: Hoy vamos a romper una regla.
Vamos a romper una de las reglas de Numberphile.
Vamos a hablar de algo que no es un número.
Hoy vamos a hablar sobre el infinito.
Eso es, infinito.
Como he dicho, infinito no es un número.
Es una idea.
Es un concepto.
Es la idea de no tener fin, de continuar siempre.
Creo que todo el mundo está familiarizado con la idea de
infinito, incluso los niños.
Empiezas a contar, 1, 2, 3, 4, 5--
puede que sólo tengas cinco años, pero te estás preguntando
¿cuál es el número más grande que puedo pensar?
Y dices, oooh, es 20.
Si eres un poco mayor, puedes decir "quizá sea un millón".
Pero nunca termina ¿no? Siempre puedes continuar añadiendo 1.
Esa es la idea del infinito.
Los números siguen avanzando siempre.
Pero voy a contarte uno de los hechos más sorprendentes
sobre el infinito.
¡Hay diferentes tipos de infinitos!
Unos infinitos son más grandes que otros.
Echemos un vistazo.
El primer tipo de infinito se llama "contable".
No me gusta el nombre "contable".
Y Brady me dio un poco de hmm, en ese momento.
Porque si estás hablando de infinito, no puedes contar
hasta un número infinito ¿no?
Porque siempre continúa.
Es un nombre terrible.
Yo prefiero llamarlo "listable" (numerable).
¿Podemos hacer una lista con esos números?
Vamos.
Ponemos los números 1, 2, 3,...
BRADY HARAN: No vas a poner todos los números, ¿verdad James?
JAMES GRIME: 4.
¿Cuánto tiempo tenemos?
BRADY HARAN: (LAUGHING) 10 minutos.
JAMES GRIME: Vale.
5, 6--
así que puedes enumerar todos los números.
Por eso se llama contable.
Yo prefiero "listable".
¿Qué ocurre con los enteros?
Todos los enteros.
Es decir, todos los números negativos también.
Está el 0.
Tenemos esto.
Están 1 y -1, están 2 y -2, están
3, y menos 3.
También son infinitos.
En cierto sentido es el doble de grande porque
tiene el doble de números.
También es infinito.
Los dos son infinitos, y ambos son el mismo
tipo de infinito.
Los dos se pueden numerar.
Más sorprendente es el caso de las fracciones,
que también se pueden numerar.
Tienes que ser un poco más listo para hacer esto.
Vamos a intentar numerar las fracciones.
Voy a escribir en un rectángulo.
1 dividido entre 1.
Eso es una fracción.
[INAUDIBLE].
Tenesmos 1 dividido entre 2, 1/3, 1/4, 1/7--
Vale. Eso sigue así.
Hacemos la siguiente fila, y tenemos dos arriba.
2/1, 2/2, 2/3, 2/4.
Hacemos la siguiente.
3/1, 3/2.
4/6, 4/7.
Esto sigue así, y podemos continuar.
He hecho una especie de tabla rectangular infinita
de fracciones.
Si ahora quiero ponerlo en forma de lista, pienso
que si voy de fila en fila tengo un problema.
Si vas por las filas de una en una... voy a hacerlo...
Está el 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/6, 1/7-- y
Tengo que continuar así todo el tiempo.
Nunca voy a poder llegar a la segunda fila.
No puedo listarlos todos.
No de esa manera.
No puedes listarlos todos de esa manera.
porque nunca llegarías a la segunda fila.
Pero hay una forma en que puedes listarlos,
un poco más inteligente.
Tomas las lineas diagonales.
Así puedo garantizar que cualquier fracción aparecerá
en alguna de esas líneas diagonales.
Y hacer una lista completa, diagonal por diagonal.
Esta es la primera diagonal.
Luego listas la siguiente diagonal-- ahí está.
Después la tercera diagonal, luego tomas
la cuarta diagonal, y la quinta.
Al final tendrás todas las fracciones.
Toda fracción está en alguna diagonal, así que
tendrás todas en la lista.
Vale. ¿Y qué pasa si consideras todos los números?
Es decir, toda la recta numérica.
Vamos a intentarlo.
Mira, voy a dibujarlo.
Es una línea continua de números.
Esos son todos los decimales.
Tenemos el 0 en el medio, y luego irán
el 1 y el 2, y el 3.
Pero también está 1/3.
Estarán pi, y e, y todos
los números irracionales también.
¿Puedes hacer una lista?
¿Cómo puedes numerarlos todos?
¿0 para empezar, luego el 1?
Pero espera,
hemos perdido un medio.
Así que lo ponemos en el centro.
¡Para!, hemos perdido un cuarto.
Lo ponemos en su sitio.
También hemos perdido 0.237--
¿Cómo podemos listar todos los números reales?
Resulta que no se puede.
De hecho, muy importante, puedo demostrarte que no podemos
listarlos, aunque será hablando de algo tan
complicado como el infinito.
BRADY HARAN: ¡Hazlo!
JAMES GRIME: Necesitamos papel.
BRADY HARAN: Necesitaremos una cantidad
infinita de papel, me temo.
JAMES GRIME: (LAUGHING) Es un buen chiste.
Imagina que pudiéramos listar todos los números decimales, ¿vale?
Realmente no podemos,
Pero supón que podemos.
¿Qué clase de...?
¿Cómo sería?
Empezaríamos con todos los decimales del tipo 0 coma algo.
Ponemos algunos decimales
0,121--
punto, punto, punto, punto, punto.
Ponemos el siguiente.
Digamos que el siguiente es 0,221--.
El siguiente, ponemos 0,31111129--.
Y ponemos otro más.
0,00176--.
Ahora voy a construir un nuevo número.
Este es el número que voy a construir.
Voy a tomar las diagonales.
Tomo este número, y este número, y este
número, y este número, y este número.
Y los escribo aquí abajo.
¿Qué número he construido?
Es 0,12101--
tal, tal, tal, ...
Ahora sigo esta regla:
Voy a hacer un número totalmente nuevo a partir de este.
Este es el número que voy a hacer.
Si tiene un uno, lo cambio por un 2.
Y si tiene un dos, o cualquier otra cosa, lo cambio por un 1
Lo intentamos.
Cambio este por..
0-punto.
Ahora si sale un 1, lo cambio por un 2.
Y si sale cualquier otra cosa, la cambio por un 1.
Así que este será un 1.
Ahora cambio este 1 por un 2.
Y cambio este por un 1.
Cambio este 1 por un 2... esta es la regla.
Y he hecho un número nuevo.
que no aparece en la lista.
Este número es completamente diferente a todos los demás
de la lista. No es el primer número porque
la primera cifra es diferente.
Y no es el segundo porque es diferente en
la segunda cifra.
No es el tercer número porque es diferente en la
tercera cifra.
No es el cuarto número porque es diferente en la
cuarta cifra.
No es el quinto número, porque es diferente en la
quinta cifra.
Has hecho un número que no está en la lista.
Así que no puedes hacer una lista con todos los números decimales.
Son incontables.
es decir, no listables.
Y esto significa que es un tipo totalmente nuevo de infinito
Un tipo de infinito más grande.
BRADY HARAN: Quizá si podemos, James, porque lo único que tenemos
que hacer es seguir tu juego, construirlos y añadirlos
a la lista
Y si hacemos eso, ¿no tendríamos todos finalmente?
JAMES GRIME: Entonces podrías crear otro número
que no estaría en esa lista.
El hombre que se dio cuenta de esto fue un matemático alemán
llamado Cantor.
Cantor vivió alrededor del inicio del siglo 20.
Fue ridiculizado por esto.
Por esta idea de que hay diferentes tipos de infinito,
le llamaron charlatán.
Y le llamaron,... cualquier cosa sin sentido.
El pobre Cantor fue realmente maltratado por sus
contemporáneos, y paso una gran parte de sus últimos años
en una institución mental, donde finalmente murió.
Cerca del final de su vida fue reconocido.
Tenía razón.
Fue admitido.
Y recibió todo el reconocimiento que se merecía.
BRADY HARAN: Y ahora está en Numberphile.
JAMES GRIME: Si. Ahora está en Numberphile,
el mayor espaldarazo de todos.
Georg Cantor.