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¿Qué es una demostración?
¿y por qué es tan importante para las matemáticas?
Las demostraciones dan a los matemáticos
lógicos, estadísticos, economistas, arquitectos, ingenieros,
y a muchos más bases sólidas para construir sus teorías.
¡Y son simplemente impresionantes!
Empezemos por el principio.
Les presento a Euclides. Su nombre significa
"el de buena fama" ¡y vaya que la tiene!
Vivió en Grecia hace aproximadamente 2300 años,
y muchos lo consideran el padre de la geometría.
Si los fanáticos de la geometría se preguntaban a quien admirar,
es Euclides de Alexandría el genio de las demostraciones.
A Euclides no se le conoce realmente por inventar o descubrir matemáticas
sino por revolucionar la manera en la que se escriben,
se presentan y se consideran.
Euclides se propuso formalizar las matemáticas estableciendo las reglas del juego.
Las reglas del juego se llaman axiomas.
Una vez que uno conoce las reglas,
Euclides dice que se deben usar para demostrar que lo que piensas es cierto.
Y si no se puede, entonces el teorema o idea
podría ser falso.
Y si el teorema es falso entonces cualquier teorema asociado
también podría ser falso.
Así como una columna mal ubicada podría derribar completamente una casa.
Así que las demostraciones son eso:
usar reglas bien establecidas para probar más allá de toda duda que un teorema es cierto.
Luego se pueden usar esos teoremas como bloques
para construir más matemáticas.
Veamos un ejemplo.
Digamos que quiero probar que dos triangulos
tiene el mismo tamaño y forma.
En otras palabras, son congruentes.
Bueno, una manera de hacerlo es haciendo una demostración
que muestre que los tres lados de un triángulo
son congruentes con los tres lados del otro triángulo
Así que ¿cómo lo demostramos?
Primero, escibimos lo que sabemos.
Sabemos que el punto M es el punto medio de AB.
También sabemos que los lados AC y BC son congruentes.
Ahora veamos. ¿Qué sabemos del punto medio?
Afortunadamente, yo sé la definición de punto medio.
Significa el punto en la mitad de algo.
Así, AM y BM tienen la misma longitud,
porque M está en el medio de AB.
En otras palabras, las bases de los triángulos son congruentes.
Lo anotaré como el paso dos.
¡Bien! Hasta ahora tenemos dos pares de lados congruentes.
El último es fácil.
El tercer lado del triángulo de la izquierda
es CM, y el tercer lado del triángulo de la derecha es...
bueno, también CM.
Ambos triángulos comparten un lado.
¡Obviamente es congruente consigo mismo!
Es la propiedad reflexiva.
Todo es congruente consigo mismo.
Lo anotaré como paso tres.
¡Listo! Hemos probado que los tres lados del triángulo de la izquierda
son congruentes con los tres lados del de la derecha.
Por lo tanto, los dos triángulos son congruentes
en base al teorema de congruencia lado-lado-lado para triángulos.
l Aterminar una demostración, me gusta hacer lo que Euclides hacía.
Escribía el final de la demostración QED
del latín "quod erat demonstrandum,"
que literalmente significa
"lo que se quería demostrar."
Pero para mí es: "¡mira qué hice!"
Puedo oír lo que piensas:
¿para qué estudiar demostraciones?
Una razón es que nos pueden ayudar a ganar cualquier debate.
Abraham Lincoln, uno de los líderes estadounidenses más grandes de todos los tiempos
solía tener una copia de "Elementos" de Euclides en su mesita
para mantener su mente en forma.
Otra razón es que podemos ganar un millón de dólares.
Escuchaste bien.
Un millón de dólares.
Ese es el premio que el Instituto Clay de Matemáticas en Massachusetts
paga a cualquiera que demuestre una de las varias teorías no demostradas
a las que llama "los problemas del milenio."
Un par de ellos han sido resueltos en los 90 y en los 2000.
Pero más allá del dinero y los debates,
hay demostraciones por todos lados.
Son la base de la arquitectura, el arte, la programación y la seguridad en Internet.
Si nadie pudiera entender o hacer una demostración,
no podríamos progresar en estas partes esenciales de nuestro mundo.
Hablando de demostrar o probar teoremas:
La prueba está en el resultado. QED.