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X
Digamos que tengo dos vectores distintos de cero.
Digamos que el primer vector es x, el segundo vector es y.
Los dos son parte de nuestro set
Los dos están en el conjunto de Rn y son distintos de cero.
Resulta que el valor absoluto de su - Voy a hacerlo
en un color diferente.
Este color es bonito.
El valor absoluto de su producto escalar de
Los dos vectores - y recuerda que esto es sólo una cantidad escalar - es
menor o igual al producto de sus longitudes.
Y hemos definido el producto escalar y hemos definido
longitudes anteriormente.
Es menor o igual al producto de sus longitudes y
sólo para impulsar aún más, la única vez que esto es
igual, cuando el producto escalar de los dos vectores va a ser
igual a la longitud de esto - la "igual" y "menos de"
o igual se aplican únicamente en la situación - permitanme escribirlo...
Donde uno de estos vectores es un múltiplo escalar
del otro
O son colineares (Parte de la misma linea)
Ya sabes, uno solo es la versión más larga o más corta
Del otro.
Por lo que sólo en la situación en la que... vamos a decir x es igual a
un múltiplo escalar de y
Estas desigualdades, o supongo que la igualdad de esta
desigualdad; esto se llama la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Cauchy-Shwarz Desigualdad
Así que vamos a probarlo, porque no se puede tomar algo como esto
sólo por su valor nominal.
Usted no debe simplemente aceptar esto.
Así que permítanme construir una función un tanto artificial.
Déjame construir una función de - que es una función de algúnos
variables, algun t escalar.
Permítanme definir el p de t a ser igual a la longitud de el
vector t multiplicado por el vector... un escalar t por el vector y
menos el vector x.
Esa es la longitud de este vector.
Esto va a ser un vector ahora.
Eso al cuadrado.
Ahora, antes de seguir adelante quiero hacer un
Enfatizar algo aqui.
Si tomo la longitud de cualquier vector, lo voy a hacer aquí.
Digamos que tomo la longitud de un vector v.
Quiero que aceptemos que este va a ser un numero
positivo, o al menos es mayor o igual a 0.
Debido a que este va a ser cada uno de sus términos al cuadrado.
v2 al cuadrado hasta vn al cuadrado.
Todos estos son números reales.
Cuando se eleva al cuadrado un número real, se obtiene algo más grande que
o igual a 0.
Cuando se los suma, va a tener algo
mayor o igual a 0.
Y se toma la raíz cuadrada de la misma, la raíz cuadrada
principal, la raíz cuadrada positiva, y vas a obtener
algo más grande que o igual a 0.
Por lo que la longitud de cualquier vector real va a ser mayor
o igual a 0.
Así que esta es la longitud de un vector real.
Así que esto va a ser mayor o igual a 0.
Ahora, en el video anterior, creo que fue dos vídeos atras,
También demostre que la magnitud o el largo de un vector
Al cuadrado también se puede escribir como el producto
escalar de el vector por sí mismo.
Así que vamos a escribir este vector de esa manera.
La longitud de este vector al cuadrado es igual al
producto escalar de ese vector por sí mismo.
Por lo que es menos ty menos x. ty menos x
En el último vídeo, le demostre que se puede tratar a una
multiplicación un producto escalar muy
similar a la multiplicación normal cuando se trata de
a las propiedades asociativas, distributivas y conmutativas
...
Así que cuando se multiplican, usted sabe, se puede
ver esto como multiplicar estos dos binomios.
Puede hacerlo de la misma manera que usted acaba de multiplicar
dos binomios algebraicos regulares.
Esencialmente solo esta usando la propiedad distributiva.
Pero recuerde, esto no es sólo la multiplicación regular.
Este es el producto punto que estamos haciendo.
Esta es la multiplicación de vectores, o una versión
de multiplicación de vectores.
Así que si nosotros lo distribuimos, esto se convertirá en Ty Ty punto.
Así que me escriba eso.
Eso va a ser Ty Ty punto.
Y luego vamos a obtener un negativo - permitame hacerlo de esta manera.
Entonces obtendremos el negativo de x por esta Ty.
En vez de decir multiplicado por, debo ser muy
cuidadoso y decir punto.
Asi que menos el punto x ty.
Y luego tienes este momento ty esta x. menos
Entonces usted tiene menos puntos ty x.
Y, por último, usted tiene el punto x es uno con el otro.
Y se puede ver como menos 1x 1x punto menos.
Se puede decir más menos 1x.
Yo sólo podría ver esto como ± 1 o ± 1.
Así que esto es menos 1x punto menos 1x.
Así que vamos a ver.
Así que a esto es lo que mi expresión completa se simplifica
o expande.
No puedo llamar a esto una simplificación.
Sin embargo, podemos utilizar el hecho de que esto es conmutativo y
asociativo para reescribir esta expresión aqui,
Esto es igual a y punto y por t al cuadrado.
t es un escalar.
Menos - y, de hecho, esto es 2.
Estas dos cosas son equivalentes.
No son más que reorganizaciones de lo mismo y vimos que
el producto escalar es asociativa.
Así que esto es igual a 2 veces x punto y por t.
Y que debería poner esto tal vez en un color diferente.
Así que estos dos términos resultan ese término allí.
Y luego, si usted reorganizar estos tiene un menos 1
por menos 1.
Se anulan, asi que esos se vuelven positivos y
Solo nos queda x punto x
Y debería hacerlo en un color diferente tambien.
Lo haré en un color anaranjado.
Así que esos términos concluyen con ese término.
Luego, por supuesto, ese termino resulta en ese termino.
Y recuerda, todo lo que hice fue reescribir esta
cosa y dije: Mira.
Esto tiene que ser mayor o igual a 0.
Para puder reescribir eso aquí.
Esto sigue siendo la misma cosa.
Solamente lo reescribi
Así que todo esto va a ser mayor o igual a 0.
Ahora hagamos un poco más de sustitución sólo para limpiar
nuestra expresión un poco.
Y que luego voy a volver a sustitutuir esto.
Vamos a definir esto como a.
Vamos a definir esta parte aquí como b.
Así que todo esto menos 2x punto y.
Voy a dejar la t allí.
Y vamos a definir esto o permitame definir esto
aquí como c.
X punto x como c.
Entonces, ¿En qué se convierte nuestra expresión?
Se convierte en a por t al cuadrado menos - Quiero ser cuidadoso
con los colores - b por t más c.
Y, por supuesto, sabemos que va a ser mayor que
o igual a 0.
Es lo mismo que este aquí, mayor a
o igual a 0.
Podría escribir p de t aquí.
Ahora bien, esto es mayor o igual a 0 para cualquier t que
ponga aquí.
Para cualquier t real que ponga aqui.
Permítanme evaluar nuestra función en la b sobre 2a.
Y sin duda puedo hacer esto porque- que era a?
Sólo tengo que asegurarme de que no estoy dividiendo por 0 en ningun lugar.
Así que a fue un vector de puntos con si mismo.
Y hemos dicho que esto era un vector no nulo.
Así que este es el cuadrado de su longitud.
Es un vector no nulo, por lo que algunos de estos términos aquí
terminarian convirtiéndose en positivos cuando se toma su longitud.
Así que esta cosa aquí es no nula.
Este es un vector no nulo.
Despues, dos por el producto escalar por si mismo también
va a ser no nulo.
Por lo que podemos hacer esto.
No nos preocupamos por dividir por 0, lo que sea.
Pero, ¿A qué será esto igual?
Esto va a ser igual a - y me quedo con el verde.
Se tarda demasiado tiempo para mantener cambiando entre colores.
Esto es igual a: a por esta expresión al cuadrado.
Por lo que es: b al cuadrado sobre 4a al cuadrado.
Solo hago 2a al cuadrado para conseguir 4a al cuadrado.
Menos b por este.
Asi que b por - esto es sólo multiplicación regular.
b por b sobre 2a.
Sólo tiene que hacer la multiplicación regular aqui.
Más c.
Y sabemos que todo esto es mayor o igual a 0.
Ahora si podemos simplificar esto un poco, ¿qué obtenemos?
Bueno, esto se cancela con este exponente de allí y
terminas con b al cuadrado allí.
Así que tenemos b al cuadrado sobre 4a, menos b al cuadrado sobre 2a.
Ese es el término ahi.
Más c es mayor o igual a 0.
Permítanme volver a escribir esto.
Si multiplicamos el numerador y el denominador de este por 2,
Que obtenemos?
2b al cuadrado sobre 4a.
Y el proposito de hacer esto es de conseguir un común
denominador aquí.
Entonces, ¿qué se obtiene?
Usted obtiene b al cuadrado sobre 4a menos 2b al cuadrado sobre 4a..
Entonces, ¿qué se reducen estos dos términos?
Bueno, el numerador es b al cuadrado menos 2b al cuadrado.
De modo que sólo se convierte en b negativa al cuadrado sobre 4a mas c
es mayor o igual a 0.
Estos dos términos se suman a esto aquí.
Ahora bien, si sumamos esto a ambos lados de la ecuación, obtenemos
c es mayor o igual a b al cuadrado sobre 4a.
Fue un impacto negativo en el lado izquierdo.
Si lo añado a las dos partes, va a ser positivo en
el lado derecho.
Nos estamos acercando a algo parecido a una desigualdad,
así que vamos a volver sustituir nuestras sustituciones originales para ver
lo que tenemos ahora.
¿dónde estaban mi sustituciones originales que habia hecho?
Aqui estaban
Y en realidad, sólo para simplificar más, déjame multiplicar ambos
lados por 4a.
Dije que a, no sólo es no nulo
tambien va a ser positivo.
Este es el cuadrado de su longitud.
Y ya he demostrado que la longitud de cualquier
vector real va a ser positivo.
Y la razón por la que estoy tomando un gran esfuerzo para demostrar que a es
positivo es porque si multiplico ambos lados de la misma
no quiero cambiar el signo de la desigualdad.
Así que voy a multiplicar ambos lados de este por a antes de
sustituirlo
Así que obtenemos 4ac es mayor o igual a b al cuadrado.
Ahi esta!
Y recuerda, que hicimos grandes esfuerzos.
Acabamos de decir que a definitivamente es un número positivo porque
es esencialmente el cuadrado de la longitud. y punto y es el cuadrado
de la longitud de y, y eso es un valor positivo.
Tiene que ser positivo.
Estamos hablando de vectores reales.
Ahora vamos a volver a sustituir esto.
Así que 4 por a, 4 por y punto y.
y punto y es también - mejor reescribirlo alli.
y punto y es lo mismo que la magnitud de y al cuadrado.
Eso es y punto y.
Esta es la a.
y punto y, les mostre en el video anterior.
Veces c.
c es x punto x.
Bueno x punto x es lo mismo que la
longitud del vector x al cuadrado.
Así que este es c.
Así que 4 por a por c va a ser mayor que
o igual al b al cuadrado.
Ahora lo que era b? b era esta cosa aqui.
Por lo tanto b al cuadrado sería 2 por x punto y al cuadrado.
Así que hemos llegado a este resultado hasta el momento.
Así que, ¿qué podemos hacer con esto?
Oh, lo siento, y todo esto se eleva al cuadrado.
Todo esto de aquí es b.
Así que vamos a ver si podemos simplificar esto.
Por lo que tenemos - quiero cambiar a un color diferente.
4 veces la longitud de y al cuadrado por la longitud de x
al cuadrado es mayor o igual a - si elevamos esto al cuadrado
aquí, tenemos 4 por x punto y.
4 por x punto y por x punto y.
En realidad, mejor aún, lo acabare de escribir que de esta manera.
Permítanme escribir 4 por x punto y al cuadrado.
Ahora podemos dividir ambos lados por 4.
Eso no va a cambiar nuestra desigualdad.
Así que eso simplemente se cancela ahí.
Y ahora vamos a sacar la raíz cuadrada de ambos
lados de esta ecuación.
Entonces, las raíces cuadradas de ambos lados de esta ecuación - estos
son valores positivos, por lo que la raíz cuadrada de este lado es
la raíz cuadrada de cada uno de sus términos. Eso es
sólo un exponente de la propiedad.
Así que si usted toma la raíz cuadrada de ambos lados se obtiene la
longitud de y por la longitud de x es mayor o igual
a la raíz cuadrada de esto.
Y vamos a sacar la raíz cuadrada positiva.
Vamos a sacar la raíz cuadrada positiva de ambos
lados de esta ecuación.
Esto nos evita tener que meterse con nada en el
la desigualdad ni nada de eso.
Así que la raíz cuadrada positiva va a ser el valor absoluto
del punto x y.
Y quiero ser muy cuidadoso en decir que es le valor absoluto
porque es posible que esta cosa aquí es
un valor negativo.
Pero cuando se eleva al cuadrado, hay tener cuidado cuando
se toma la raíz cuadrada de la misma que
permanece un valor positivo.
Porque de lo contrario, cuando tomamos la raíz cuadrada principal,
Podemos meternos con la desigualdad.
Estamos tomando la raíz cuadrada positiva, que sera -
así que si usted toma el valor absoluto, está asegurándose
De que va a ser positivo.
Pero este es nuestro resultado.
El valor absoluto del producto escalar de los vectores es menor
que el producto de las dos longitudes de los vectores.
Así que obtubimos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Ahora lo último que dije es, ¿qué ocurre si x es
igual a un múltiplo escalar de y?
Bueno, en ese caso, ¿cuál es el valor absoluto?
El valor absoluto de x punto y?
Bueno, eso es igual - que es igual a qué?
Si hacemos la sustitución eso es igual al valor absoluto
de c por y.
Eso es punto y x, lo que equivale a, sólo
utilizando la propiedad asociativa.
Es igual al valor absoluto de c por - queremos
asegurarnos de que nuestro valor absoluto... mantener todo positivo.
y punto y.
Bueno, esto es igual a c por la magnitud de y - la
longitud de y al cuadrado.
Así que eso es igual a la magnitud de c por - o el
valor absoluto de nuestra escalar c por la longitud de y.
Bueno esto de aquí, puedo reescribir esto.
Quiero decir que puedes probar esto a ti mismo si no lo crees
pero esto - podríamos poner la c dentro de la magnitud
y eso puede ser un buen ejercicio para poder probarlo.
Sin embargo, es bastante sencillo.
Solo acaba de hacer la definición de longitud.
Y lo multiplicas por c.
Esto es igual a la magnitud de la cy por - digamos
la longitud de cy por la longitud de y.
He perdido mi notación vectorial en alguna parte.
Aqui esta.
Ahora bien, esto es x.
Así que esto es igual a la longitud de x por la longitud de y.
Les mostré algo de la segunda parte de la desigualdad
Cauchy-Schwarz, donde esto sólo es igual al otro
si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.
Si usted esta un poco incómodo con algunos de los
los pasos que tomé, podría ser un buen ejercicio
actualmente probarlo
Por ejemplo, para demostrar que el valor absoluto de c por
la longitud del vector y es lo mismo que
la longitud de c por y.
De todos modos, espero que hayan encontrado esto muy útil.
La desigualdad de Cauchy-Schwarz la usaremos mucho cuando probemos
otros resultados en álgebra lineal.
Y en un vídeo futuro, les voy a dar un poco más de
intuición acerca de por qué esto tiene mucho sentido en relación con el
punto del producto.