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Si fuiste a la escuela en Estados Unidos (o en la mayoría del resto del mundo)
casi con seguridad aprendiste acerca de algo que se llamaba "orden de las operaciones"
Un conjunto de instrucciones sobre si debías multiplicar antes de sumar o sumar antes
de multiplicar para encontrar la respuesta correcta en tu examen de matemáticas.
Salvo que no siempre obtienes la respuesta correcta, o incluso una respuesta. Es decir, ¿es
8-2+1 igual a 5 o a 7? Y ¿es 6/3/3 igual a dos tercios o a seis? El problema es que centrarse en el orden
de las operaciones, puede llevarnos a ambigüedad y oscurece la verdadera y a menudo hermosa
matemática que subyace.
Un matemático te diría que 8-2+1 es en realidad 8+(-2)+1, lo que es igual a 7 sin ninguna ambigüedad
aunque el llamado "orden de operaciones" estándar en los EEUU te diga que la respuesta es 5
Si quieres que la respuestas sea 5, en realidad necesitas paréntesis!
Pero, ¿por qué es posible esta ambigüedad? Porque fundamentalmente, todas estas operaciones no son
otra cosa que diferentes procedimientos que partiendo de dos números, los combinan de algún modo para
dar un único número. Cada operación toma dos números como entrada, y nada más que dos. Si quieres ser
completamente no ambiguo (y pedante), cada uno de los pares de números de una expresión
algebraíca, debería ir entre paréntesis, y de este modo no hay necesidad de saber ningún orden de prioridad
en las operaciones, solo hay que evaluar los paréntesis empezando por los mas internos, y proceder hacia fuera
para ir eliminándolos por pares como en un torneo.
Pero resulta que este no es el único modo de hacerlo. Es posible cambiar el orden en el que realizas
las operaciones, reorganizar los paréntesis, siempre que conozcas las matemáticas que
subyacen.
Por ejemplo: si quieres sumar (3+4) y luego multiplicar el resultado por 5, o bien
haces primero la suma, resultando 7 por 5 = 35, o bien realizas antes la multiplicación, siempre que
tengas en cuenta que la multiplicación "se distribuye" por todos los términos que hay en el paréntesis…
es decir, (5*3) más (5*4) = 15 más 20 = 35 ¡La misma respuesta!
¿Cómo sabemos que la multiplicación se distribuye? Una manera de verlo es dibujando rectángulos.
La misma reorganización puede hacerse con la exponenciación y la multiplicación: (3*2) al cuadrado
es 6 al cuadrado = 36. O bien 3 al cuadrado por dos al cuadrado, 9 por 4 = 36. También f unciona con la
suma y la resta: 5 menos (1+2) es 5 menos 1 menos 2.
Asi pues, el verdadero orden de operaciones es este: Usa paréntesis y aprende lo que de verdad hacen
exponenciación, multiplicación suma y demás, entonces podras operar como quieras.
…
Esto no es decir que no tenemos un orden de operaciones convencional en matemáticas, es decir,
decidir que evaluamos la multiplicación antes que la suma, nos permite deshacernos de
un montón de paréntesis redundantes, y saber que (1+2)+3 = 1+ (2+3) y 2*(3*4) = (2*3)*4
elimina muchos más… pero lo importante es que esos paréntesis siguen estando ahí, aunque de
forma implicita. Igual que 3 menos 4 en realidad es 3 más (menos 4) y 3 entre 4 es en realidad
3 por un cuarto. Pero siempre que el resultado pueda ser ambiguo, realmente tienes que usar
paréntesis, y luego operar en el orden que quieras.
No obstante, el orden de las operaciones aprendido en la escuela es diferente. Es un conjunto de
instrucciones mecánicas que imponen solo una de las muchas formas en que puedes hacer álgebra. Te
confina en un único camino, a pesar del hermoso paisaje matemático circundante, lo cual, siendo
necesario para un ordenador cuyo único objetivo es dar la respuesta correcta, no te da una visión
sobre lo que estás haciendo cuando estás haciendo álgebra.
Así que, mientras el orden de operaciones no es erróneo, porque la mayor parte de las
veces te dará la respuesta correcta, no es moralmente correcto, ya que convierte humanos en robots.