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Vivimos en un mundo tridimensional
en donde todo tiene longitud,
ancho,
y altura.
¿Pero qué pasaría si nuestro mundo fuese bidimensional?
Quedaríamos aplastados
para ocupar un plano único de existencia,
geométricamente hablando, por supuesto.
¿Y cómo se vería y se sentiría el mundo?
Esta es la premisa
de la novela de Edwin Abbot, Planolandia [Flatland].
Planolandia es un entretenido experimento matemático imaginario
que sigue las pruebas y tribulaciones de un cuadrado
expuesto a la tercera dimensión.
Pero, ¿qué es una dimensión?
Para nuestros propósitos, una dimensión es una dirección,
que podemos imaginar como una línea.
Para que nuestra dirección sea una dimensión,
debe estar en ángulo recto con otras dimensiones.
Entonces, un espacio unidimensional es simplemente una línea.
Un espacio bidimensional está definido
por dos líneas perpendiculares,
que trazan una superficie plana
como una hoja de papel.
Y un espacio tridimensional
agrega una tercera línea perpendicular,
que nos brinda altura
y el mundo al que estamos acostumbrados.
Entonces, ¿qué tal 4 dimensiones?
¿Y de 5?
¿Y de 11?
¿Dónde colocamos esas nuevas líneas perpendiculares?
Allí es donde Planolandia puede ayudarnos.
Veamos el mundo cuadrado de nuestro protagonista.
Planolandia está poblada por formas geométricas,
desde triángulos isósceles
hasta triángulos equiláteros
desde cuadrados,
pentágonos,
hexágonos,
hasta llegar a los círculos.
Todas estas formas corretean por un mundo plano,
mientras viven sus vidas planas.
Tienen un único ojo en el frente de su cara,
y veamos cómo se ve el mundo
desde su perspectiva.
Lo que ven es, en esencia, una dimensión,
una línea.
Pero en Planolandia de Abbott,
los objetos más cercanos son más brillantes,
y así es como perciben el ancho.
Entonces, un triángulo se ve diferente a un cuadrado,
se ve diferente a un círculo,
y así sucesivamente.
Sus cerebros no pueden comprender la tercera dimensión.
De hecho, rechazan su existencia vehemente
porque simplemente no es parte de su mundo
o de su experiencia.
Pero, resulta que
todo lo que necesitan
es un pequeño empujón.
Un día, una esfera aparece en Planolandia
para visitar a su héroe cuadrado.
Así se ve una esfera
cuando atraviesa Planolandia
desde la perspectiva de un cuadrado,
y esto asombra al cuadrado.
Entonces, la esfera lleva el cuadrado
a la tercera dimensión,
rumbo a la altura, donde ningún habitante de Planolandia ha ido antes,
y le muestra su mundo.
Desde allí arriba, el cuadrado puede ver todo:
las formas de los edificios,
todas las piedras preciosas escondidas en la tierra,
incluso las entrañas de sus amigos,
lo cual es probablemente bastante incómodo.
Una vez que el desventurado cuadrado
acepta la tercera dimensión,
le ruega a su anfitrión que lo ayude
a visitar la cuarta y las demás dimensiones,
pero la esfera se exalta con la mera sugerencia
de que haya dimensiones mayores a tres
y envía al cuadrado de vuelta a Planolandia.
Ahora, la indignación de la esfera es comprensible.
Una cuarta dimensión es muy difícil
de asimilar con nuestra experiencia del mundo.
A menos que visitemos el hipercubo,
no podremos sentir
la cuarta dimensión,
pero podemos aproximarnos a ella.
Recordarán que cuando la esfera
visitó por primera vez la segunda dimensión,
se parecía a un conjunto de círculos
que comenzaban como un punto.
Cuando tocó Planolandia,
creció hasta que estaba a medio camino
y luego se achicó nuevamente
Podemos pensar estar visita
como una serie de intersecciones en 2D de un objeto 3D.
Bueno, podemos hacer lo mismo
en la tercer dimensión con un objeto 4D.
Digamos que una hiperesfera
es el equivalente 4D de una esfera 3D.
Cuando el objeto 4D atraviesa la tercera dimensión,
se parecerá a algo como esto.
Ahora veamos otra manera
de representar un objeto 4D.
Digamos que tenemos un punto,
una forma 0D.
Ahora la extendemos una pulgada
y tenemos segmento 1D.
Extendemos el segmento entero una pulgada,
y obtenemos un cuadrado 2D.
Tomamos el cuadrado entero y lo extendemos una pulgada,
y obtenemos un cubo 3D.
Pueden ver hacia dónde estamos yendo con esto.
Toma el cubo entero
y extiéndelo una pulgada,
esta vez en forma perpendicular hacia las tres direcciones existentes.
y obtenemos un hipercubo 4D,
también llamado teseracto.
Tal es así que
podrían existir formas de vida cuatridimensionales
dando vueltas por ahí,
que de vez en cuando asoman su cabeza
en nuestro mundo 3D
y se preguntan por qué tanto alboroto.
De hecho, podrían existir
otros mundos enteros 4D
más allá de nuestro alcance,
escondidos de nosotros
por la naturaleza de nuestra percepción.
¿Acaso esto no resulta impactante en tu pequeña mente esférica?