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Bueno, después del último vídeo, estamos un poco
familiarizados en como sumar matrices.
Así que ahora vamos a aprender a multiplicar matrices.
Y recuerda, estas definiciones para la multiplicación de matrices
son creadas por el hombre.
Podríamos haber llegado a formas completamente diferentes de
multiplicarlas.
Sin embargo, te aconsejo aprender de esta manera porque te ayudará
en la clase de Matemáticas.
Y se verá más adelante que en realidad hay un montón de
aplicaciones que surgen de este tipo de multiplicación
de matrices
Así que dejenme a pensar dos matrices.
Voy a hacer dos matrices de 2 por 2, y las vamos a multiplicar.
Digamos que - permítanme escoger algunos número al azar: 2,
menos 3, 7 y 5.
Y voy a multiplicar esa matriz, o arreglo
de números, por 10, menos 8 -- dejenme escoger un buen número.
aquí -- 12, y menos 2.
Así que ahora podría haber una fuerte tentación -- y tú sabes,
de alguna forma no es una tentación ilegítima -- a
hacer lo mismo con la multiplicación que lo que hicimos
con la adición, es decir multiplicar sólo el termino
correspondiente. Por lo que podría tener la tentación de decir, bueno, el primer término
aquí, el termino 1, 1, o en la primera fila y primera
columna, va a ser 2 por 10 .
Y este término va a ser menos 3 por
menos 8 y así sucesivamente.
Y así es como hemos sumado matrices así que tal vez se trata de una
consecuencia natural el multiplicar matrices de la misma manera.
Y eso es legítimo.
Uno podría definir de esa manera, pero esa no es la forma en la que se hace
en el mundo real.
Y la definicion en el mundo real,
por desgracia, es más compleja.
Pero si nos fijamos en un montón de ejemplos
creo que lo entenderas.
Y aprenderás que en realidad es bastante
sencillo.
Entonces, ¿cómo lo hacemos?
Este primer termino en la primera fila y la primera
columna, es esencialmente igual a este primer vector-fila
- No, este primer vector fila-
por este vector columna.
Ahora, ¿qué quiero decir con esto?
Esta obteniendo los datos de la fila de la primera
matriz, y obtiene los datos para la columna de
la columna de la segunda matriz.
Entonces, ¿cómo lo hago?
Si está familiarizado con el producto punto, es esencialmente el
producto punto de estas dos matrices.
O sin decirlo tan complicado, es sólo esto: es 2
por 10, tenemos 2 - Voy a escribir chiquito - por 10, mas
menos 3 por 12.
Me voy a quedar sin espacio.
Entonces, ¿que es este segundo término?
Bueno, todavía estamos en la primera fila del producto, pero
Ahora estamos en la segunda columna.
Obtenemos nuestros datos para la columna de aquí.
Así que vamos a elegir un buen color - este es un diferente
tono de morado.
Así que ahora esto va a ser - lo haré en otro
color - 2 por menos 8 - dejenme escribir el número -
2 por menos 8 es menos 16, más menos 3 por menos 2 -
¿que da menos 3 por menos 2?
Da más 6, ¿verdad?
Así que eso es en la fila 1 columna 2.
Es menos 16 más 6.
Y luego vamos aca abajo.
Así que ahora estamos en la segunda fila.
Así que ahora vamos a utilizar - estamos tomando nuestros datos para
la fila de la primera matriz, se que esto es
confuso y me siento mal por ti ahora mismo, pero nos dirigimos
a un montón de ejemplos y creo que va a tener sentido.
Por lo que este término - la parte inferior izquierda - va a ser esta fila
por esta columna.
Por lo tanto, va a ser 7 por 10, que es 70, más 7 por 10
más 5 por 12, 60 .
Y entonces el término inferior derecho va a ser 7 por menos
8, que es menos 56, más 5 por menos 2.
Y eso es menos 10.
Por lo que el producto final va a ser 2 por 10, es 20, menos
36, por lo que es menos 16 más 6, que es 10.
90 - ¿Era eso lo que habia dicho?
No, era - 70, más 60, que es 130.
Y entonces menos 56 menos 10, que es menos 66.
Y ahi lo tienes.
Acabamos de multiplicar esta matriz por esta otra.
Permítanme hacer otro ejemplo.
Creo que lo apachurrare en este lado para
que podamos escribir en este lado un poco más cuidadosamente.
Así que tomemos la matriz 1, 2, 3, 4, multiplicandola por la
matriz 5, 6, 7, 8.
Ahora tenemos mucho más espacio para trabajar, asi que deberia
salir más ordenado.
OK, pero yo voy a hacer la misma cosa, así que para obtener este
término aquí - el término superior izquierdo - vamos a tomar-
o el que tiene la fila 1 columna 1 - vamos a tomar
datos para la fila 1 de aqui, y para la columna 1
de aqui.
Lo que se puede ver como vector fila
por este vector columna.
y esto resulta, 1 por 5 más 2 por 7.
¿cierto?
Ahi lo tienes.
Y por lo tanto este término, va a ser este vector fila por este
vector de la columna - dejenme hacer eso en un color diferente - seria
1 por 6 más 2 por 8.
Dejenme escribir eso.
Así que es 1por 6 mas 2 por 8.
Ahora bajamos a la segunda fila.
Y obtenemos nuestros datos para la fila del primer vector - permítanme
encerrarlo con este color - y eso es 3 por 5
más 4 por 7.
Y entonces nos encontramos en la parte inferior derecha, así que estamos en la ultima
fila y segunda columna.
Y obtenemos nuestros datos de la fila de aquí y los datos de
la columna de aqui.
Por lo que es 3 por 6 más 4 por 8.
Y si simplificamos, esto es 5 más --
Bueno, en realidad, permítanme recordarles de donde vinieron
todos los numeros.
Así que tenemos este color verde, ¿verdad?
Este 1 y 2 de este, que es este 1 y este 2.
este 1 y este 2.
¿cierto?
Recuerdda, estos se encontraban en la primera fila y estan en la
primera fila aquí.
Y este 5 y este 7?
Bueno, eso es este 5 y este 7, y este 5 y este 7.
Interesante.
Esto estaba en la columna 1 de la segunda matriz y esto esta en
la columna 1 en la matriz del producto.
Del mismo modo, el 6 y 8.
Eso es este 6, este 8, y luego se usa aquí, este 6
y este 8.
Y, finalmente, el 3 y el 4 en cafe, que son
este 3, este 4 y este 3 y este 4.
Y podríamos, por supuesto, simplificar todo.
Este fue 1 por 5 mas 2 por 7, eso es 5 más 14,
que es 19.
Esto es 1 por 6 más 2 por 8, 6 más
16, que es 22.
Esto es 3 por 5 más 7 por 4.
Así que 15 más 28, 38, 43 -, si mis cálculos son correctos - y tenemos
3 por 6 más 4 por 8.
Así que es 18 más 32, que es 50.
solo para que sepas que el producto de las
matrices- escribiendolo bien - es
19, 22, 43 y 50.
Así que ahora déjame hacerte una pregunta.
Cuando hicimos la suma de matrices, aprendimos que, teniendo dos
matrices - no importa el orden en que las sumo.
Si decimos , A mas B - y estas son las matrices, por eso
Las estoy remarcando - dijimos que esto es lo mismo que
B más A, en función de cómo se define la suma
de matrices, B mas A.
Así que ahora déjame hacerte una pregunta.
Es la multiplicación de dos matrices, AB - eso sólo significa que
estamos multiplicando A por B - que es lo mismo que BA?
¿Importa?
¿Importa el orden en la multiplicación de matrices?
Te lo voy a decir ahora mismo, realmente importa
bastante.
Y en realidad hay determinadas matrices que se pueden sumar en
una dirección pero no en la contraria- ¡oh, que
se pueden multiplicar de una manera, pero no puede multiplicarse en el
otro orden
Y ahora, te voy mostrar eso en un ejemplo -, pero sólo para
mostrar que esto no es igual para la mayoría de las matrices, te
animo a multiplicar estas dos matrices en el
otro orden.
Bueno, dejame hacer eso.
Déjame hacer eso muy rápido sólo para demostrarte
este punto
Dejame borrar toda esta parte superior.
Permítanme eliminar todo.
Así que espero que, ya sabes que cuando multiplicamos esta matriz
por esta matriz, tengo esta.
Así que dejame cambiar el orden - y voy a hacerlo algo rápido
sólo para no aburrir - así que déjame cambiar el orden de
la multiplicación de matrices.
Esto es bueno ya que es otro ejemplo, - así que voy
a multiplicar esta matriz: 5, 6, 7, 8,por esta matriz - y
Acabo de cambiar el orden, y estamos probando para ver si
el orden importa - 1, 2, 3, 4.
Vamos a hacerlo - pero no voy a hacerlo con todos los colores y lo demas.
Voy a hacerlo de forma sistemática.
Creo que sólo hay que ver un montón de ejemplos - Así que este
primer término obtiene sus datos para la fila de la primera
matriz, datos para la columna de la segunda matriz.
Lo que es 5 por 1 más 6 por 3, que es 5 por 1 -
Permítanme escribir, editar en realidad.
Voy a omitir un paso aquí - OK, así que es 5 por 1
más 6 por 3, 18 .
¿Cuál es el segundo termino de aquí?
Va a ser 5 por 2 más 6 por 4.
Asi, 5 por 2 es 10, mas 6 por 4 es 24.
Muy bien, ahora nos lo tomamos esta fila por esta
columna de la derecha.
OK, ahora estamos aquí - estamos haciendo esta
fila, este elemento de la esquina inferior izquierda va a
utilizar esta fila y esta columna.
Por lo que es 7 por 1 más 8 por 3.
8 por 3 es 24.
Y, por último, para obtener este elemento esencialmente estamos
multiplicando este fila por esta columna, por lo que es 7 por 2
que es 14, más 4 por 8, más 32.
Así que esto es igual a 5 más 18, que es 23, 34.
¿Cuanto es 7 más 24?
Eso es 31, 46.
Recuerda, si a esto se le llama la matriz A y a esto
la matriz B, ¿verdad?
En el último ejemplo, hemos demostrado que A por B es igual a 19,
22, 43, 50.
Y acabamos de ver que, bueno, si se invierte el orden, B
por A, es en realidad esta matriz completamente diferente.
Por lo que el orden en que se multiplican
matrices importa mucho.
Se me está acabando el tiempo.
En el siguiente video que voy a hablar un poco más sobre los
tipos de matrices - y, uno, sabemos que el orden tiene importancia -
y en el siguiente video voy a mostrar que tipo de
matrices pueden ser multiplicadas entre si.
Cuando se suman o se restan las matrices, como acabamos de decir,
tienen que tener las mismas dimensiones, por que estas
sumando o restando los términos a termino. Pero
verás que con la multiplicación esto es un poco diferente.
Y lo haremos en el siguiente video.
Nos vemos pronto.