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Mi nombre es Ludwig Schläfli,
soy un geómetra suizo.
Viví en el siglo XIX
y voy a abrirles las puertas hacia la cuarta dimensión.
No le tengamos miedo a las palabras, soy un visionario.
Fui uno de los primeros en tomar conciencia
de que los espacios de muchas dimensiones
existen y de que podemos
estudiar su geometría.
Los seres planos viven en un plano
y pueden entender la existencia de poliedros en dimensión 3.
¿Por qué no podríamos entender los poliedros de dimensión 4?
Una de mis mayores contribuciones
fue la descripción de todos los poliedros regulares de dimensión 4.
¿Qué es la cuarta dimensión?
Se ha escrito mucho sobre el tema,
¡a los autores de ciencia ficción les fascina!
Voy a explicarles las cosas en el pizarrón.
Verán que este pizarrón es un poco mágico.
Lo importante es prepararse para hacer una abstracción
del mundo al que estamos acostumbrados
e imaginar un mundo
al cual nuestros ojos y nuestro sentidos no nos permiten acceder directamente.
Tendremos que ser astutos, como los reptiles.
Voy a montar sobre un promontorio,
que, desafortunadamente, ustedes no verán,
e intentaré describirles lo que veo.
Pero antes, trazo un recta en el pizarrón.
Pongo un origen en la recta.
Cada punto de esta recta
se puede ubicar por su distancia al origen,
a la cual le pondremos un signo negativo si está a la izquierda
y un signo positivo si está a la derecha.
Denotaremos a este número x
y lo llamaremos abscisa.
Como la posición de un punto sobre la recta
se describe con un sólo número,
decimos que la recta es de dimensión 1.
Trazo, ahora, un segundo eje,
perpendicular al primero.
Cada punto del plano del pizarrón
está perfectamente descrito por dos números,
que denotamos tradicionalmente como x y y: la abscisa y la ordenada.
El plano es de dimensión 2.
Si hubiera que explicar a un ser que vive en una recta
lo que es un punto del plano, que no conoce,
podrían decirle simplemente
"un punto del plano es sólo una pareja de números".
Pasemos a la tercera dimensión.
El gis dibuja en el espacio
y traza un tercer eje, perpendicular a los otros dos.
Un punto en el espacio está definido por tres números,
x, y, z.
Podríamos decir a los reptiles,
curiosos de saber lo que es nuestro mundo:
"un punto en el espacio son sólo tres números".
Pasemos a la cuarta dimensión.
Podemos intentar trazar un cuarto eje,
perpendicular a los otros, ¡pero es imposible!
Entonces tenemos que utilizar otro método.
Claro, podemos decir sencillamente
que un punto en el espacio de dimensión 4
son sólo por cuatro números x, y, z, t.
¡No es muy útil!
Sin embargo, vamos a intentar desarrollar
una intuición de esta geometría a pesar de todo.
Un primer método para entender
es proceder por analogía.
He aquí un segmento...
...ahora un triángulo equilátero...
y un tetraedro regular.
Nuestro pizarrón mágico nos permite dibujar en el espacio.
¿Cómo continuar la serie en dimensión 4?
Podemos apreciar que el segmento, el triángulo y el tetraedro
tienen 2, 3 y 4 vértices respectivamente.
¡Podemos intentar continuar con 5 vértices!
Probemos.
En el segmento, el triángulo o el tetraedro
cada par de puntos está unido por una arista.
Tenemos que unir los 5 vértices entre ellos.
Contamos
una arista ,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 aristas.
En el tetraedro,
hay una cara triangular por cada tripleta de vértices.
Seguimos el mismo procedimiento,
lo que nos da una cara triangular,
2, 3, ..., 10 caras.
Pero si continuamos con la analogía,
tenemos que aumentar una cara tetraédrica
por cada cuatro vértices.
Contamos 5.
Listo, nuestro objeto tetradimensional está construido.
Bauticémoslo ¡el simplejo!
y girémoslo en el espacio
como lo hicimos con el tetraedro.
Hay que imaginar que el simplejo rota
en un espacio de dimensión 4
y que lo que ven es solamente una proyección en el pizarrón.
Esto es lo que complica un poco las cosas,
las caras se mezclan y se cruzan.
Así es, se necesita un poco de experiencia para ver en dimensión 4.
Podemos tomar el simplejo,
que está en la cuarta dimensión,
y desplazarlo para que intersecte
progresivamente "nuestro" espacio de dimensión 3.
De la misma forma que los reptiles
veían un polígono aparecer y desaparecer,
vemos un poliedro de dimensión 3,
que aparece, se deforma y desaparece.
El simplejo atravesó nuestro espacio de dimensión 3.
Ahora vamos a conocer
otros poliedros de dimensión 4
que atraviesan nuestro espacio de dimensión 3.
El hipercubo, que generaliza la familia
que empieza con el segmento, el cuadrado y el cubo.
Hay que reconocerlo, desarrollar una intuición con el método de los cortes,
que acabamos de utilizar es muy difícil...
Descubrí los análogos del icosaedro y el dodecaedro.
Tienen nombres complicados
pero yo los llamaré sencillamente el 120 y el 600,
ya que el primero tiene 120 caras y el segundo 600.
Vean el 120, mientras atraviesa nuestro espacio.
He aquí el 600.
Claramente, cuando digo que un poliedro de dimensión 4 tiene 600 caras
hablo de sus caras tridimensionales.
Sí, sus 600 caras son tetraedros.
¡El 120 está formado por 120 dodecaedros!
Después aprenderemos a conocerlos mejor.
Para poder observar estos objetos tetradimensionales,
con nuestros ojos tridimensionales,
podemos utilizar sus sombras.
Los objetos están en el espacio de dimensión 4
y los proyectamos sobre nuestro espacio de dimensión 3
exactamente como un pintor proyecta un paisaje en su cuadro.
Es lo que hicimos con el simplejo.
He aquí el hipercubo.
Gira en el espacio
para que podamos apreciar los detalles.
Ven, por ejemplo, que el hipercubo tiene 16 vértices.
Uno nuevo.
Mi más bello descubrimiento.
Un objeto que llamaré el 24
que no tiene análogo en dimensión 3.
Una criatura puramente tetradimensional.
Estoy muy orgulloso de haberla descubierto.
¡Admiren! 24 vértices, 96 aristas, 96 triángulos y 24 octaedros.
¡Una maravilla!
Ahora la sombra del 120
¡en toda su majestuosidad!
Majestuosidad compleja, hay que decirlo.
Entremos y examinemos su estructura.
Admiren: 600 vértices, 1200 aristas.
De cada vértice salen 4 aristas.
Una estructura completamente regular.
Todos los vértices y todas las aristas juegan el mismo papel.
Aun así, la proyección rompe de una cierta forma la regularidad del objeto.
Hagan un esfuerzo para imaginar
el objeto en el espacio de dimensión 4
en el cual un enorme grupo de rotaciones
permuta todos los vértices y aristas.
He aquí el campeón, el 600.
Como una macromolécula gigante
con sus 720 aristas y 120 vértices.
12 aristas salen de cada vértice.
Pero nuestra aventura con los poliedros
de dimensión 4 no va a acabarse aquí
ya que podemos apostar que sus proyecciones estereográficas
nos darán todavía una mejor intuición.