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Retomemos la esfera S2 con sus paralelas.
Sobre cada punto de S2
debemos imaginar un círculo de Hopf.
Observemos lo que tenemos sobre de uno de los paralelos de S2,
por ejemplo, el ecuador.
Aquí está lo que tenemos arriba de otro paralelo
que se desplaza hacia el sur.
¿Porqué el toro parece hacerse tan fino?
Porque arriba del polo sur
no hay, por supuesto, más que un círculo.
Encima del polo norte vemos una recta,
de hecho, un círculo que pasa por el infinito, ¡es la recta roja!
Bien, hagamos girar todo esto ahora...
rotaciones, sí, pero rotaciones
del espacio de dimensión 4, por supuesto.
Para ser honesto, debo decirles que una parte de estas figuras
era ya conocida mucho antes de mi tiempo.
Se le atribuye al Marqués de Villarceau
la existencia de cuatro familias de círculos sobre el toro,
pero, de hecho, encontramos índices,
en una escultura de la catedral de Estrasburgo.
Tomemos un toro de revolución:
es la superficie descrita por un círculo
que gira alrededor de un eje situado dentro de su plano.
Observemos la sección de un toro por un plano.
Observen aquí cómo he elegido el plano.
Decimos que es bitangente al toro
simplemente porque es tangente en exactamente dos puntos.
Pero... miren bien.
El plano corta al toro a lo largo de dos círculos perfectos.
Este es el teorema de Villarceau:
un plano bitangente a un toro lo corta sobre dos círculos.
Por supuesto, hay más de un plano bitangente.
Aquí hay otro que corta sobre otros dos círculos de Villarceau.
Podemos hacer lo mismo para todos los planos bitangentes:
sólo basta girar.
¿Lo ven? Por cada punto de un toro de revolución
podemos hacer pasar cuatro círculos,
obtenidos al cortar con planos adecuados.
Uno de los círculos es un paralelo,
otro es un meridiano,
después un primer círculo de Villarceau
y un segundo.
Y como podemos hacer lo mismo para cualquier punto del toro,
vemos que el toro está cubierto por cuatro familias de círculos.
Dos círculos de la misma familia no se encuentran.
Un círculo azul corta a un círculo rojo en un solo punto,
Un círculo amarillo y un círculo blanco se cortan en dos puntos:
son círculos de Villarceau.
Miren bien los círculos amarillos:
¡son círculos de Hopf!
¿Recuerdan cuando observábamos
lo que estaba sobre un paralelo de la fibración?
Veíamos un toro lleno de círculos entrelazados dos a dos,
como este toro lleno de círculos amarillos.
-Y ¿los círculos blancos?- me dirán ustedes.
Pues bien, son las fibras de otra fibración de Hopf,
la que obtenemos cuando miramos la primera a través de un espejo.
Para terminar nuestro paseo,
tomaremos un toro de revolución,
con sus cuatro familias de círculos,
lo imaginaremos en la esfera S3
y después haremos girar la esfera en el espacio de dimensión 4,
para después proyectarla estereográficamente
en el espacio de dimensión 3.
Obtenemos así superficies
que están, igualmente, cubiertas por cuatro familias de círculos:
son las cíclides de Dupin.
A veces, cuando el toro pasa por el polo de proyección,
la superficie pasa por el infinito...
En este movimiento, las los caras pueden inclusive intercambiarse.
El interior del toro es rosa, el exterior verde.
Una simple rotación en la cuarta dimensión y ¡uh!
El verde se vuelve rosa y el rosa verde
¿acaso no es magnífico?