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Soy Adrien Douady.
Toda mi obra matemática está centrada
en los números complejos.
Contribuí al avance de la geometría algebraica
y de la teoría de los sistemas dinámicos.
Estos números tienen una larga historia.
A su izquierda pueden ver a Tartaglia y Cardano
los pioneros, que vivieron durante el Renacimiento.
A su derecha, Cauchy y Gauss,
quienes consolidaron la teoría en el siglo XIX.
Los números complejos no son
tan complejos como podríamos creerlo.
Se les llamo primero "los números imposibles"
y todavía los llamamos, a veces, "imaginarios".
Es cierto, necesitamos un poco de imaginación...
Hoy en día, estos números han invadido las ciencias
y dejaron de ser misteriosos.
En particular, gracias a ellos podemos
construir hermosos conjuntos fractales.
Yo trabaje mucho en este tema.
Incluso realicé una película: La Dinámica del Conejo,
una de las primeras películas animadas de matemáticas.
Voy a empezar por explicarles los números complejos en el pizarrón.
A los matemáticos les gusta escribir con gis...
Verán que la regla, la escuadra y el transportador
se comportan a veces de forma poco habitual...
Tracemos una recta graduada en el pizarrón.
Una de las mas bellas ideas matemáticas
es la de relacionar la geometría y el álgebra.
Es el inicio de la geometría algebraica.
De la misma forma en la que sumamos números, podemos sumar puntos.
Tomemos un punto rojo en la recta y otro azul.
Sumemos los dos puntos.
¡Es el punto verde! ¡Uno más dos igual a tres!
Si los puntos rojo y azul se desplazan,
lo mismo pasa con el punto verde, que es su suma.
¡Aún más interesante! Podemos multiplicar puntos.
Observemos, por ejemplo, la multiplicación por -2.
Transforma el punto 1 en el punto -2.
Si volvemos a multiplicar por -2,
tenemos que hacer el mismo movimiento:
cambiar de lado con respecto al origen
y duplicar la distancia al origen.
Obtenemos, por supuesto, 4.
Si multiplicamos dos veces seguidas por -2
multiplicamos por 4.
La multiplicación por -1 es más sencilla.
Cada punto es enviado a su simétrico
con respecto al origen,
es decir hay que dar media vuelta,
o una rotación de 180 grados, si prefieren.
Si multiplicamos un número por si mismo,
el resultado es siempre positivo.
Por ejemplo, si multiplicamos por -1,
damos media vuelta;
entonces, si lo hacemos una segunda vez,
¡regresamos al punto de inicio!
Es por esta razón que -1 por -1 es igual a +1.
...
Vean por ejemplo que la multiplicación por -1
envía al 2 al -2
y que si volvemos a multiplicar por -1,
regresamos al 2.
Evidente, ¿o no?
Entonces, no hay ningún número que
multiplicado por si mismo dé -1.
Dicho de otra forma, -1 no tiene raíz cuadrada.
¡Pero olvidamos contar
con la imaginación de los matemáticos!
Robert Argand tuvo una hermosa idea, a principios del siglo XIX.
Se dijo:"como multiplicar por -1
es girar 180 grados,
su raíz cuadrada es girar la mitad, girar 90 grados.
Si giramos dos veces un cuarto de vuelta,
damos media vuelta.
El cuadrado de un cuarto de vuelta es media vuelta, es decir -1."
¡Bastaba pensarlo!
Argand declara entonces que la raíz cuadrada de -1
corresponde al punto que es la imagen del 1 bajo una rotación de 90 grados.
Pero esto nos obliga a salir de la recta horizontal,
acabamos de atribuirle un número
a puntos del plano que no están en la recta.
Como la construcción es un poco rara,
decimos que dicho punto, raíz cuadrada de -1, es un número imaginario
y los matemáticos lo denotan i.
Pero, una vez que nos atrevimos a salir de la recta,
lo que sigue es más sencillo.
Podemos representar 2i, 3i, etc.
A todos los puntos del plano les corresponde un número complejo
y recíprocamente todo número complejo define un punto del plano.
¡Los puntos del plano se han convertido en números legítimos!
Estos números se pueden sumar como los número ordinarios.
Observen el punto rojo, que es el número 1+2i.
Sumémosle 3+i, que es el punto azul.
Podemos realizar la suma
como aprendemos en la escuela,
el resultado es 4+3i.
Del lado geométrico, lo que hacemos es sumar vectores.
¡Los números complejos se suman sin problemas!
Mucho más interesante,
los números complejos también se pueden multiplicar,
de la misma forma que los números reales.
Veamos...
Sabemos multiplicar un número complejo por 2, por ejemplo.
Dos por 1+i da
2+2i etcétera.
Del lado geométrico, es fácil multiplicar por 2:
dilatamos por 2,
el doble del punto rojo, ¡es el punto verde!
Tampoco multiplicar por i es difícil
ya que sabemos que corresponde a un cuarto de vuelta.
Para multiplicar 3+i por i,
basta girar el punto un cuarto de vuelta.
Llegamos al -1+3i.
¡Ni tan complejos los números complejos!
Finalmente, podemos multiplicar dos números complejos
cualesquiera sin problema.
Intentemos, por ejemplo, multiplicar 2+1.5i por -1+2.4i.
Como de costumbre,
multiplicamos primero por 2 y luego por 1.5i y sumamos los dos resultados.
Obtenemos:
"dos por ..."
Entonces
-2+4.8i-1.5i+3.6 por i por i.
Pero recordemos que i al cuadrado es igual a -1,
¡es para eso que lo inventamos!
Da
-2+4.8i más etc.
Ordenemos un poco, tenemos que
-2-3.6+4.8i-1.5i,
es decir,
-5.6+3.3i.
Listo, somos capaces
de multiplicar los números complejos,
dicho de otra forma, ¡sabemos multiplicar puntos del plano!
Es increíble,
creíamos que el plano era de dimensión 2
ya que necesitamos dos números
para describir la posición de un punto cualquiera,
y ahora, les digo, ¡es suficiente con un solo número!
Claro que hemos cambiado de números
¡se trata ahora de números complejos!
Vamos a definir dos nociones,
el módulo y el argumento de un número complejo.
El módulo de un número complejo z,
es sencillamente la distancia del origen al punto correspondiente del plano.
Tomemos la regla para medir el módulo del punto rojo,
que es 2+1.5i.
Observemos que medimos 2.5.
Entonces, el módulo de 2+1.5i es 2.5.
Para el punto azul obtenemos 2.6.
Y para el punto verde, que es el producto
de los puntos rojo y azul,
obtenemos 6.5.
Es un hecho general: el módulo del producto de dos números complejos
es el producto de los módulos de los dos números.
El argumento de un número complejo
se obtiene midiendo el ángulo entre el eje de las abscisas
y la recta que va del origen al punto.
Aquí, por ejemplo, el argumento del número complejo rojo
es igual a 36.8 grados.
El del punto azul es 112.6 grados.
El del producto, el punto verde, es 149.4 grados:
es la suma de los argumentos de los dos números...
Cuando multiplicamos dos números complejos,
los módulos se multiplican y los argumentos se suman.
Terminemos nuestro primer encuentro con los números complejos
con la proyección estereográfica.
Tomemos una esfera tangente al pizarrón en el origen.
Utilizando la proyección estereográfica,
a cada punto del pizarrón,
es decir, a cada número complejo,
le corresponde un punto de la esfera.
Sólo el Polo Norte de la esfera,
es decir el polo de proyección,
no está asociado a ningún número complejo.
Decimos que esta asociado al infinito.
Los matemáticos dicen que la esfera
es una recta proyectiva compleja.
¿Por qué recta?
¡Porque necesitamos un sólo número para describir sus puntos!
¿Por qué compleja?
Porque dicho número es complejo.
¿Por qué proyectiva?
Porque agregamos un punto al infinito cuando proyectamos sobre la esfera.
Qué raros estos matemáticos
que dicen ahora que la esfera es una recta.