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Lo que quiero hacer en este video --y probablemente
ocurra a lo largo de varios videos-- es realmente incorporar todo
lo que sabemos acerca de matrices, espacios nulos,
espacios columna e independencia lineal.
Así que tengo aquí esta matriz. Esta matriz A.
Y supongo que un buen lugar para empezar es averiguar su
espacio columna y su espacio nulo.
El espacio columna es realmente muy fácil de averiguar.
Es sólo el espacio lineal de los vectores columna de A.
Así podemos elegir el principio escribir el espacio
columna de nuestra matriz A -- Voy a hacerlo aquí.
Puedo escribir el espacio columna de mi matriz A es igual al
espacio lineal de los vectores 1, 2, 3.
1, 1, 4.
1, 4, 1.
Y 1, 3, 2.
Hecho.
Ha sido bastante sencillo, mucho más fácil
que encontrar espacios nulos.
Ahora, esto puede que te satisfaga o puede que no.
Y hay un montón de preguntas abiertas.
¿Es esto una base para el espacio, por ejemplo?
¿Es un conjunto independiente lineal de vectores?
¿Cómo podemos visualizar este espacio?
Y todavía no he contestado a ninguna de ellas.
Pero si alguien dice, bueno ¿qué es el espacio columna de A?
Este es el espacio columna A.
Y entonces podemos responder a alguna otra de esas preguntas.
Si se trata de un conjunto linealmente independiente de vectores,
entonces estos vectores serían base del
espacio columna de A.
No lo sabemos todavía.
No sabemos siquiera si estos son linealmente independientes.
Pero podemos deducir si son linealmente independientes
mirando el espacio nulo de A.
Recuerda que estas son linealmente independientes si el espacio nulo
de A solo contiene el vector 0.
Así que vamos a averiguar lo que es el espacio nulo de A.
Y recuerda, podemos hacer aquí un pequeño paréntesis.
El espacio nulo de A es igual al espacio nulo de la fila,
la forma escalón reducida A.
Y le mostré cuando calculamos primero el null
espacio de un vector, porque cuando se realizan estos--
esencialmente si quiere resolver por el espacio nulo de A,
crear una matriz aumentada.
Y pones la matriz aumentada en escalón reducida de la fila
Nunca cambie la forma, pero el 0.
Esencialmente sólo está tomando A y ponerlo en
forma escalón reducida.
Vamos a hacer eso.
Así que I'll keep fila uno de la misma, 1, 1, 1, 1.
Y luego me deja sustituir la fila dos, fila
dos menos fila uno.
¿Lo que me sale?
No, realmente quiero cero esto aquí.
Así fila dos menos, 2 veces la fila uno.
Realmente aún mejor porque me eventualmente
¿desea obtener un 1 aquí.
Así que permítanme hacer fila 2 veces, menos la fila dos.
Así que permítanme decir fila 2 veces uno, y me voy
a menos de la fila dos.
Por lo tanto 2 veces 1 menos 2 es 0, que es exactamente
lo que yo quería allí.
2 veces 1 menos 1 es 1.
Es agradable tener allí.
1 2 veces menos 4 es menos 2.
1 2 veces menos 3 es menos 1.
Bien, ahora Déjame ver si yo puedo cero este chico aquí.
¿Qué puedo hacer?
Podría hacer cualquier combinación, nada esencialmente
ceros a este chico hacia fuera.
Pero quiero minimizar mi número de números negativos.
Así que permítanme tomar esta tercera fila, menos 3 veces esta primera fila.
Así que voy a tomar menos 3 veces esa primera fila y añadir
que esta tercera fila.
Por lo menos 3 veces 1 es 0.
Estos sólo va a ser un manojo de 3.
4 menos 3 veces 1 es 1.
1 menos 1 3 veces es menos 2.
Y 2 menos 1 3 veces menos 1.
Ahora si queremos conseguirlo en forma escalón reducida
debemos apuntar que uno existe y que uno.
¿Y qué podemos hacer?
Así que vamos a mantener el mismo mi fila del medio.
Mi fila del medio no va a cambiar.
1, 1, menos 2, menos 1.
Y para deshacerse de este una hasta aquí yo sólo puedo reemplazar mi
primera fila con mi primera fila menos mi segunda fila.
Porque entonces esto no va a cambiar.
Voy a tener 1 menos 0 es 1.
1 menos 1 es 0.
Eso es lo que queríamos.
1 menos menos 2 es 3.
Es 1 más 2.
1 menos menos 1.
Es 1 + 1.
Es 2.
¿Justo?
Ahora me deja hacer mi tercera fila.
Quiero cambiar mi tercera fila con mi tercera fila restada
desde mi primera fila.
Obviamente son la misma cosa.
Así que si Reste la tercera fila de la segunda fila solo estoy
vamos a sacar un montón de 0.
0 menos 0 es 0.
1 menos 1 es 0.
Menos menos menos 2 2 es 0.
Y menos 1 menos menos 1.
Es menos 1 más 1.
Es igual a 0.
Y así lo tenemos ahora en
forma escalón reducida.
Así que aquí es la forma escalón reducida A.
Que sencillo.
Ahora toda la razón por qué nosotros incluso pasó por esto
el ejercicio es que queríamos averiguar el
espacio A.
Y ya sabemos que el espacio nulo de la A es igual a
el espacio nulo de la forma escalón reducida A.
Por lo tanto si se trata de la forma escalón reducir de A, vamos a
averiguar su espacio nulo.
Así que el espacio nulo es el conjunto de todos los vectores de la R4,
porque aquí tenemos 4 columnas.
1, 2, 3, 4.
El espacio nulo es el conjunto de todos los vectores que satisfacen
Esta ecuación, donde vamos a tener
de tres 0 aquí.
Es el vector 0 en R3, porque tenemos tres filas
ahí y usted puede entenderlo.
Veces esto tiene a igual 0.
Que salpicada de esencialmente se va
al igual 0.
Que punteó con es igual 0.
Digo esencialmente porque no definir un punto de vector fila
un vector de columna.
Yo sólo he definido vectores columna salpicadas de otros
vectores de columna.
Pero hemos sido más en un video anterior, donde se puede
dicen que se trata de una transposición de un vector columna.
Así que vamos a simplemente tenerlo y escribir un sistema de
ecuaciones con esto.
Así conseguimos tiempos de 1 x 1.
Hasta este momento esto va a ser igual 0.
Así que una veces x 1, x 1.
Más veces 0 x 2.
Permítanme sólo escribir.
Además 3 veces x 3.
Más veces de 2 x 4 es igual 0.
Y luego, lo haré en amarillo aquí--I
tener tiempos de 0 x 1.
Más veces de 1 x 2.
Menos 2 veces x 3.
Menos 4 x es igual a 0.
Y entonces esto me no da ninguna información.
0 veces todo esto es igual a 0.
Por lo que sólo se convierte en 0 es igual a 0.
Así que vamos a ver si podemos resolver para nuestras entradas de pivote, o nuestra
variables de pivote.
¿Cuáles son nuestras entradas de pivote?
Se trata de una entrada de pivote.
Es una entrada de pivote.
¿Qué forma escalón reducida que es todo alrededor,
obtener estas entradas que son 1 y son la única
término a cero en sus respectivas columnas.
Y que cada entrada de pivote es a la derecha de un
pivote de entrada por encima de él.
¿Y, a continuación, las columnas que no tienen entradas de pivote?
Estas columnas representan las variables libres.
Así que esta columna no tiene ninguna entrada de pivote.
Y así cuando usted toma el producto escalar, esta columna se
en esta columna en nuestro sistema de ecuaciones.
Así que sabemos que 3 x es una variable libre.
x 3 es libre.
Podemos fijar igual a nada.
Asimismo 4 x es una variable libre.
X 1 y x 2 son variables de pivote, ya que sus correspondientes
columnas en nuestra forma escalón reducida tienen pivote
entradas en ellos.
Bastante justo.
Así que vamos a ver si podemos simplificar esto
en una forma que sabemos.
Y hemos visto esto antes.
Así que si se resuelve para x 1--este 0 puedo obviar.
Ese 0 puedo obviar--podría decir que x 1 es igual a menos
3 x 3 menos 2 x 4.
Yo sólo restan estos dos de ambos lados de la
ecuación y puedo decir que x 2 es igual a 2 x 3 y x 4.
Y si queremos escribir nuestra solución definir ahora, que si me
quería encontrar el espacio nulo de A, que es lo mismo
como el espacio nulo de la forma escalón reducida de A,
es igual a todos los vectores--me deja hacer un nuevo color.
Tal vez haré azul--es igual a todos los vectores x 1, x 2,
x 3, x 4 que son iguales a--
Así que ¿qué van a ser igual a?
X 1 debe ser igual al menos 3 x 3 menos 2 x 4.
Para ser claros, estos son variables libres porque puedo
definir estas a ser cualquier cosa.
Y estos son variables de pivote porque simplemente no puedo definirlas
para cualquier cosa.
Al determinar cuáles son mis 3 de x y de mis 4 x,
determinar qué mi 1 de x y de mis 2 x tienen que ser.
Así que estos son variables giratoria.
Estas son variables libres.
Puedo hacer esta pi de guy.
Y puedo hacer este chico menos 2.
Podemos configurarlos a nada.
Por lo que x 1 es igual a--a ver, déjame escribirlo de esta manera
--son iguales a 3 x--permítanme hacerlo en un color diferente
--no x 3 como este.
Por lo que es igual a 3 x veces algunos vector plus x 4 algunas veces
otro vector.
Así que cualquier solución en mi espacio va a ser lineal
combinación de estos dos vectores.
Podemos imaginar lo que estos dos vectores son sólo de
Estas dos restricciones aquí.
Así--me deja hacerlo en un color neutro - x 1 es igual
al menos 3 veces x 3 menos veces 2 x 4.
Bastante claro.
x 2 es igual a 2 veces x 3 y x 4.
¿Qué es igual a 3 x?
X 3 es igual a sí mismo.
Lo fijamos x 3 igual a, que va a ser x 3.
Tan x 3 va a ser 1 veces x 3 más veces 0 x 4.
No va a tener cualquier 4 x en ella.
X 3 va a ser el tipo de una variable independiente.
Va a ser libre.
Podemos establecer lo que sea.
Lo configuramos y, a continuación, que va a ser x 3 en
nuestro conjunto de soluciones.
x 4 no va a tener cualquier 3 x en ella.
Sólo va a ser tiempos de 1 x 4.
Así que nuestro espacio nulo es esencialmente todo el lineal
combinaciones de estos dos vectores.
Esto puede ser cualquier número real.
Esto es cualquier número real y x 4 es sólo un miembro de la
espacio real.
Así que todos estos, el conjunto de todas las soluciones válidas para
AX es igual a 0--donde escribir.
¿Incluso escribió?
No yo no he escrito en cualquier lugar.
El conjunto de todos los Ax es igual a 0, cuando se trata de mi x, se
es igual a todas las combinaciones lineales de este vector
y que allí de vectores.
Y sabemos lo que todo el medio de combinaciones lineales.
Significa que mi espacio nulo es igual a la duración de estos dos
chicos, el lapso de menos de 3, 2, 1, 0.
Y menos 2, 1, 0, 1.
Ahora, déjeme hacerle una pregunta.
¿Son las columnas en el A, son un conjunto linealmente independiente?
¿Son un conjunto linealmente independiente?
Por tanto si escribimos estos vectores allí, éstas son la
vectores de la columna a.
Así que permítanme anote.
¿Son los vectores columna de A--así lo eran?
Vamos a ver.
1, 3, 2.
No se trata de 1, 2, 3.
1, 1, 4.
1, 4, 1.
Y 1, 3, 2.
Esto es tan sólo los vectores columna de la A.
Sólo podría escribir A sólo es tanto de columnas, pero mi
¿es esto un conjunto linealmente independiente?
Y aquí inmediatamente puede empezar a pensar, cuando bien nos
dijo que algo es linealmente independiente--por lo que
linealmente independencia implica que existe una única solución
--lo hemos visto creo que hace, dos videos que hay sólo
una solución, una solución para Ax es igual a 0.
Y que es el 0 solución, que x es
igual al vector de 0.
U otra manera de decir que es que el espacio nulo de mi
matriz A es igual al vector de sólo 0.
Eso implica independencia lineal.
Y se va en ambos sentidos.
Si mi espacio es simplemente un vector 0, entonces sé que tiene
linealmente independientes.
Si mi espacio incluye otros vectores, entonces no estoy
linealmente independientes.
¿Ahora mi espacio nulo de la A, que incluye?
¿Es sólo el vector 0?
Bueno, no incluye cada lineal
combinación de estos chicos.
Incluye una infinidad de vectores,
no sólo una solución.
Obviamente 0 vector está contenido aquí, si usted solamente
Multiplique ambos--si selecciona 0 para que y que.
Está contenida, pero usted puede conseguir un conjunto de vectores.
Debido a que el lapso null null A, el espacio, lo sentimos, el
espacio de un no sólo contiene el vector 0.
Por lo tanto tiene más de sólo 0.
Así que ¿qué significa eso?
Bueno, eso significa que hay más de
una solución a esto.
Y eso significa que este es un conjunto linealmente dependiente.
¿Y qué significa eso?
Al comienzo del video dijo: qué tiene la
espacio de la columna a.
Y hemos dicho, el espacio de la columna de la A es sólo la duración de la
vectores de columna.
Sólo escribí lo así.
Y yo dije, bien no está claro si esto es válido
base para el espacio de la columna a.
¿Y lo que es una base?
Una base es un conjunto de vectores que abarcan un subespacio y ellos
también son linealmente independientes.
Y sólo nos mostró que estos chicos no son linealmente
independiente.
Lo significa que no son una base para la columna
espacio A.
Abarcan el espacio columna de A, por definición realmente.
Pero no son una base.
Necesitan ser linealmente independientes para
ellos una base.
Así que vamos a ver si podemos imaginar qué base para esto
sería el espacio de la columna.
Y para hacerlo solo tenemos que deshacernos de
algunos vectores redundantes.
Si puedo mostrarle que este chico puede ser representado por algunos
combinación de estos dos chicos, entonces puedo
deshacernos de ese tipo.
Él no agrega ninguna información nueva.
Lo mismo con ese tipo.
¿Quién sabe?
Así que vamos a ver si podemos imaginar esta pieza del rompecabezas hacia fuera.
Por lo que ya sabemos que x 1, me deja escribirlo de esta manera, que
x 1 veces--tal vez yo sólo tipo de te dejaré colgando y
Repita esta operación en el siguiente video.
Pero sabemos que x 1 veces 1, 2, 3.
Más veces de 2 x 1, 1, 4.
Además x 3 veces 1, 4, 1.
Plus x 4 veces 1, 3, 2.
Sabemos que esto es igual a 0.
Ahora si somos capaces de resolver para x 4 en términos de--me deja
sólo pienso que puedo resolver para los vectores que son
asociado con mis libres variables
usando los otros vectores.
Déjame ver si puedo hacerlo.
Y verás que es realmente bastante sencillo.
Así que vamos a decir que quiero resolver para x 4.
Así que si reste esto de ambos lados de este
¿ecuación, lo que recibo?
Déjame ponerlo de esta manera, permítanme set x 3 igual a 0.
Es una variable libre.
Puedo hacerlo.
Así que si configuro x 3 es igual a 0, entonces ¿qué obtengo aquí?
Si he dicho x 3 es igual a 0, este chico desaparece.
Y si reste esto de ambos lados de esta ecuación,
consigue 1 x veces 1, 2, 3.
Más veces de 2 x 1, 1, 4.
Es igual a - sólo estoy ajuste x 3 igual a 0.
Fue una variable libre.
Así que yo estoy ajuste x 3 igual a 0.
Así que todo esto desaparece.
Así es igual a menos x 4 veces 1, 3, 2.
Ahora me puse x 3 igual a 0.
Permítanme set x 4 igual a menos 1.
¿Si es igual a menos 1, lo que es menos x 4 x 4?
Bueno, entonces esto será igual a 1.
Y voy a tener 1 x veces 1, 2, 3.
Plus x 2 veces 1, 1, será igual a 4 esta cuarta
vector aquí.
¿Y puedo siempre encontrar cosas como esta?
Así que realmente puedo encontrar los particulares.
Si es igual a 3 x 0 y x 4 son menos 1--me deja copiar y
pega esto que yo he hasta aquí--permítanme desplazarse
abajo un poco.
Esto es lo que tenemos cuando pensamos que nuestro espacio nulo,
allí.
Así que si estoy definiendo--Recuerde que estas son las variables libres
--Si configuro x 3 igual a 0 y 4 x es igual a
menos 1, ¿qué es x 1?
A continuación, esto implicará que x 1 es igual al menos 3 veces x 3,
0 justo eso, menos tiempos de 2 x 4.
Si x 4 es menos 1, menos 2 veces menos 1,
1 x será igual a 2.
Y entonces ¿qué 2 x será igual a?
x 2 es igual a 2 veces x 3, que es 0, más 4 x.
Por lo que es igual a menos 1.
Por lo que sólo le mostré que si puse esto igual a 2 y esto
igual a menos 1, tengo una combinación lineal de esto
vector y este vector que puede sumar
para este cuarto vector.
Y aún puede comprobarlo.
2 veces 1 menos 1 es igual a 1.
2 veces 2 menos 1 es igual a 3.
3 veces 2 es 6, menos 4 es igual a 2.
Así retira.
Tan sólo mostré que, realmente, está usando nuestras definiciones
mirando cuáles eran nuestras variables libres
frente a las variables de pivote.
Pudimos demostrarle, tipo de muy simplemente resolver para
Este tercero, este cuarto vector, en términos
de estos dos primeros.
Por lo que sabemos, si nos remontamos al conjunto que esta cuarta
vector es realmente innecesario, realmente no agregar nada a
el palmo del conjunto de vectores.
Porque este chico puede ser escrito como una combinación de
Este chico y este chico.
Ahora vamos a ver si este chico, este tercer chico, podemos hacer la
mismo ejercicio.
Esto también depende de una variable libre.
Así que vamos a ver si puedo escribirle como una combinación
de estos dos primeros.
También haremos exactamente lo mismo.
En lugar de ajuste x 3 igual a 0 y x 4 igual a menos 1,
nos set 4 x es igual a 0 porque quiero
para tache.
Y permítanme set x 3 es igual a menos 1.
Si x 3 es igual a menos 1, ¿qué significa esto
¿reducir la ecuación a?
Obtenemos x 1 veces 1, 2, 3.
Más veces de 2 x 1, 1, 4.
Es igual a--si esto es menos veces 1 1, 4, 1.
Y luego lo agregamos a ambos lados de esta ecuación, obtenemos
Además 1 veces 1, 4, 1.
Y una vez más sólo podemos resolver para nuestros x 1 y x 2.
Si es de 4 x 0 y x 3 es menos 1, entonces x 1 x 4 es 0.
Así que x 3 es apenas menos veces, 3 x 3, por lo que sería de 1 x
¿ser igual a 3, correcto?
Menos 3 veces menos 1.
Y ¿qué x 2 sería igual a?
4 x es 0, podemos ignorar.
x 2 sería igual a menos 2.
Así que esto sería 3, y entonces esto sería menos 2.
Vamos a ver si funciona.
1 3 veces menos 2 es 1.
2 3 veces menos 2 es 4.
3 3 veces menos 8 es 1.
Retira.
Por lo que soy capaz de escribir este vector, se asoció
con la variable libre, como lineal
combinación de estos dos.
Así nos podemos deshacernos de él de nuestro conjunto.
Así que ahora he mostrado que este chico puede escribirse como una lineal
combinación de estos dos.
Este chico puede escribirse como una lineal
combinación de estos dos.
Por lo que la duración de todos esos chicos debe ser igual a la
palmo--Déjame escribirlo de esta manera.
El espacio de la columna de la A, yo ahora puedo escribir.
Antes era la duración de todos los vectores.
Es el intervalo de todos los vectores columna,
V1, v2, v3 y v4.
Ahora os sólo mostraba v3 y v4 puede ser reescrita en
términos de v1 y v2.
Así que son redundantes.
Así es igual a la duración de v1 y v2 que son sólo
los dos vectores.
Vector vector 1, 1, 4, 1, 2 y 3.
¿Ahora cualquiera de estos chicos son redundantes?
Puedo expresar una de ellas como lineal
¿combinación del otro?
Esencialmente cuando estoy hablando sobre la combinación lineal
de sola otro vector es sólo
multiplicando un escalar.
Bueno vamos a pensar en eso.
Existen múltiples maneras usted puede demostrar esto, pero el más fácil
pues mira, para pasar de esta entrada a esa entrada que estoy de forma
simplemente multiplicando por 1.
Pero si se multiplican este vector entero veces 1, entonces me voy
para obtener un 2 aquí y voy a conseguir un 3 aquí.
Por lo que no funciona.
Si quiero representar a este chico como un múltiplo escalar de
ese hombre, que va así cualquier múltiplo escalar de 1, 2, 3
a ser igual a 1C, 2C, 3C.
¿Verdad?
Y por lo que estamos diciendo este chico tiene que ser representado de alguna manera
así, si decimos que este chico es un escalar, de alguna manera
de alguna manera puede ser representado por ese tipo.
Así tendría que ser igual a 1, 1, 4.
Cuando usted mira esta entrada superior implica que c sería
tiene que ser igual a 1.
Pero al mirar esta segunda entrada piensas que c
tendría que ser igual a 1/2.
Así llegas a una contradicción.
Aquí c tendría que ser igual a 4/3.
Así que no hay c de donde esto funcionará.
No hay ningún múltiplo de c.
Y puede trabajar ambos sentidos.
Así no hay manera que usted puede representar uno de estos chicos como
una combinación lineal del otro.
Y realmente puedes probar otras formas, tal vez más
formalmente, que esto es linealmente independiente.
Pero dado que es linealmente independiente--
Creo que estás satisfecho con eso--entonces podemos decir que
el conjunto de vectores 1, 2, 3 y 1, 1, 4, esta es una base
para el tamaño de la columna a.
Ahora voy a dejarte ir en este video porque creo que
Yo he ido bien con el tiempo.
Pero ahora lo voy a hacer en los próximos pocos videos es
que yo he establecido que esta es una base de la columna
palmo de A, podemos intentar visualizarlo.
Porque podemos decir que el tamaño de la columna de la A es igual a
el lapso de estos dos vectores.
Y podemos pensar acerca de lo que el lapso de
son los dos vectores.
Vamos a ver que es un plano en R3.
Lapso de 1, 1, 4.
Y esto es un recordatorio rápido, he dicho un par de veces.
Cuando digo que es una base de todo lo que digo es que estos chicos,
abarcan el espacio de la columna a.
Cuando tenía cuatro vectores, también abarcó el
espacio de la columna a.
Pero lo que los hace una base es que estos chicos son linealmente
independiente.
No existe información adicional o redundante vectores que pueden
representado por otros vectores dentro de la base.
Son linealmente independientes.
De todos modos, te dejaré ir por ahora.