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X
Ahora estamos listos para resolver no homogénea segundo orden
ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
¿Qué significa todo esto?
Bueno, es una ecuación que tiene este aspecto.
A veces el segundo derivado más b veces el primero
derivados más c la función es igual a g de x.
Antes de mostrarle un ejemplo real, quiero mostrarle
algo interesante.
Que la solución general de esta ecuación no homogénea
es realmente la solución general de la homogénea
ecuación además una solución particular.
Voy a explicarlo que significa en un segundo.
Así que vamos a decir que h es una solución de
la ecuación homogénea.
Y que funcionó bien, porque, h para homogénea.
h es la solución para homogénea.
Debe haber alguna notación abreviada para homogénea.
¿Qué significa eso?
Esto significa que a veces la segunda derivada de h plus b
veces primer h más veces c h es igual a 0.
Eso es lo que me refiero cuando digo que h es una solución--y
en realidad, digamos que h es la solución general para
Esta ecuación homogénea.
Y sabemos resolver.
Tomar la ecuación característica dependiendo de cuántos
raíces tiene y si son reales o complejos.
Puede averiguar una solución general.
Y, a continuación, si tiene condiciones iniciales, puede sustituir
ellos y obtener los valores de las constantes.
Bastante justo.
Ahora vamos a decir que dijera que g es una solución.
Así no, ya utilicé g aquí arriba.
Bueno, no me gusta usar vocales.
Digamos j.
Digamos que j es una solución particular
ecuación diferencial.
¿Qué significa eso?
Esto significa que a veces primer primo j plus b veces j
veces primeros plus c j es igual a g de x.
¿Verdad?
Tan sólo nos estamos definiendo j de x es una solución particular.
Ahora lo que quiero mostrar es j x plus h de x es
también va a ser una solución a esta ecuación original.
Y que es la solución general para este
ecuación no homogénea.
Y antes solo hacerlo
Matemáticamente, ¿qué es la intuición?
Bueno, cuando usted sustituir h aquí, obtendrá 0.
Cuando se sustituye j aquí, obtendrá g de x.
Así que cuando se les agreguen juntos, vas a obtener
0 plus g de x aquí.
Así que vas a obtener g de x aquí.
Y te voy a mostrar ahora.
Así que vamos a decir que quería sustituir h plus j aquí.
Y lo haré en un color diferente.
Un--así que la segunda derivada de la suma de esos dos
funciones va a ser la segunda derivada de ambos
les resumió--plus b veces la primera derivada de la
suma más c veces la suma de las funciones.
Y mi objetivo es mostrar que esto es igual a g de x.
Así que ¿qué es esto simplificado a?
Bien si tomamos todos los términos h, obtenemos primer primo Ah
más prime Bh más Ch plus, vamos a hacer todos los términos de j. AJ
primer Prime plus Bj prime plus Cj.
Bien por la definición de cómo definimos h y j, lo
¿Esto es igual a?
Dijimos que h es una solución para la ecuación homogénea,
o que esta expresión es igual a 0.
Por lo es igual a 0.
¿Y por nuestra definición de j, lo que esto significa?
Dijimos j es una solución particular para la
ecuación no homogénea, o que esta expresión es
igual a g de x.
Así que cuando usted sustituir h plus j en este diferencial
ecuación del lado izquierdo.
En el lado derecho, verdadero, obtendrá g de x.
Por lo que sólo hemos demostrado si se definen h y j de esta manera,
que la función, llamaremos k de x es igual a h de x
Además j de x.
Estoy quedando sin espacio.
Es la solución general.
Yo no he comprobado que es la solución más general, pero
¿Creo que tienes la intuición, correcta?
Porque la solución general por un homogéneo que
fue la solución más general, y ahora vamos a añadir un
solución en particular que usted obtiene la g de x en la
lado derecho.
Puede ser muy confuso para usted, así que vamos a tratar de realidad
hacerlo con números reales.
Y creo que haremos mucho más sentido.
Digamos que tenemos las ecuaciones diferenciales--y
Voy a enseñarte una técnica ahora para averiguar
ese j en ese último ejemplo.
Entonces, ¿cómo puedes adivinar solución en particular?
Digamos que tengo la ecuación diferencial de la
segunda derivada de y menos 3 veces la primera derivada
menos 4 veces y es igual a 3e para el x 2.
Así, el primer paso es que queremos la solución general de la
ecuación homogénea.
Y en ese ejemplo que acabo de hacer, que tendría
sido nuestro h de x.
Así que tenemos la solución y primos primos menos prime 3 años
menos de 4 años es igual a 0.
Tomar la ecuación característica.
Este 4 es igual a 0.
r menos r 4 veces más 1 es igual a 0.
2 raíces, r puede ser negativo o 4 1.
Y por lo tanto nuestra solución general--que llamaré que h.
Bien, vamos a llamar y general.
y sub g.
Así que nuestra solución general es igual a--y que hemos hecho esto
muchas veces--C1 e a la x 4 plus e C2 negativo
1 x o menos x.
Bastante justo.
Así que hemos resuelto la ecuación homogénea.
Entonces, ¿cómo obtenemos, en este último ejemplo, una j de x que
nos dan una solución particular, en el
derecha que obtenemos esto.
Bien aquí solo tenemos que pensar un poquito.
Y este método es llamado el método de indeterminado
Coeficientes.
Y tienes que decir, bueno, si quiero alguna función donde me
tomar una segunda derivada y que añadir o restar algunos
múltiplo de su primera derivada menos algunos múltiples
de la función, obtener e a la x 2.
Esa función y sus derivados y su segundo
derivados deben ser algo de la forma, algo
veces e a la x 2.
Tan esencialmente tomamos una suposición.
Decimos bien apariencia que cuando tomamos los diversos
derivados y las funciones y se multipliquen múltiplos de
¿lo más mutuamente?
Y todo eso.
Nos reuníamos e el x 2 o algún múltiplo de e a la x 2.
Bien, una buena estimación podría ser sólo ese j--así que llamaré
y particular.
Podría ser nuestra solución particular aquí--y en particular
Estoy usando un poco diferente de lo particular de solución
solución cuando tuvimos las condiciones iniciales.
Aquí podemos ver esto como una solución particular.
Una solución que nos da esta en el lado derecho.
Así que vamos a decir que el que escoger es algunas veces constante a
e a la x 2.
Si es mi suposición, entonces la derivada de la es igual a
2Ae el x 2.
Y la segunda derivada de ello, de mi particular
solución, es igual a 4Ae a la x 2.
Y ahora puedo sustituir aquí y vamos a ver si puedo
resolver para un, y, a continuación, voy a tener mi solución en particular.
Por eso la segunda derivitive, que es esto.
Para obtener 4Ae al 2 x menos 3 veces la primera derivitive.
Lo menos 3 veces esto.
Eso es menos 6Ae al 2 x menos 4 veces la función.
Por lo tanto menos 4Ae a la x 2 y todo eso va a ser
igual a 3e para el x 2.
Bien sabemos e con el 2 x 0 igual, así que podemos dividir
ambos lados por.
Sólo un factor, realmente.
Deshacerse de todos los de la ñ a la x 2.
En el lado izquierdo, tenemos una 4A negativo y 4A.
Bueno, los cancelan.
Y luego lo aquí, tenemos menos 6A es igual a 3.
Divide ambos lados por 6 y get a es igual a menos 1/2.
Así que ahí.
Tenemos nuestra solución particular.
Es igual a menos 1/2 e a la x 2.
Y ahora, como sólo mostré le antes de que se borra la
pantalla, nuestra solución general de este homogénea
ecuación va a ser nuestra solución particular además de la
solución general de la ecuación homogénea.
Por lo que podemos llamar esto la más general
Solución: no sé.
Yo simplemente llamaremos y.
Es nuestra solución general C1e a x 4 plus C2e a la
menos x plus nuestra solución particular hemos encontrado.
Eso es menos de 1/2e a la x 2.
Bastante limpio.
De todos modos, voy a hacer un par de ejemplos más de esto.
Y creo que obtendrá el cuelgue de él.
En los siguientes ejemplos, haremos algo más que una e a
el x 2 o una función e aquí.
Intentaremos hacer cosas con polinomios y trig
funciones así.
Nos vemos en el siguiente vídeo.