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La dimensión dos
Mi nombre es Hiparco.
Viví en el siglo II antes de Cristo y,
modestia aparte,
tengo que decirles que soy el fundador de la geografía y de la astronomía.
Escribí al menos catorce libros,
pero desafortunadamente casi todos han desaparecido.
Realicé el primer catálogo de estrellas,
creé la trigonometría,
inventé el astrolabio.
Afortunadamente, mi brillante sucesor Ptolomeo,
tres siglos después,
se inspiro ampliamente en mi trabajo,
de forma que algunas veces los historiadores no logran
distinguir sus aportaciones de las mías.
Su tratado El Almagesto es el primer tratado de astronomía científica,
su libro La Geografía contiene el primer
mapa del mundo conocido en su época.
La geografía y la geometría son dos ciencias que estudian la Tierra.
Etimológicamente, la geo-grafía intenta dibujarla
y la geo-metría, medirla.
La Tierra tiene casi la forma de una esfera.
Vamos a olvidarnos del hecho de que está ligeramente achatada en los polos
y considerar su superficie como una esfera perfecta
Recuerden que en una esfera,
todos los puntos están a la misma distancia del centro.
La flecha que ven,
que parte del centro y va hasta un punto móvil de la esfera,
tiene longitud constante.
Escojamos un eje de la esfera: es una línea recta que pasa por el centro.
Si cortamos la esfera con planos que contienen dicho eje,
los cortes siguen un círculo máximo
que divide a la esfera en dos hemisferios.
Si ahora rebanamos la esfera
utilizando una especie de guillotina que se desliza a lo largo del eje,
dibujamos los meridianos.
Son semicírculos
cuyas extremidades están situadas en el Polo Norte y en el Polo Sur.
Si rebanamos ahora la esfera
con un plano perpendicular al eje,
definimos círculos a los que llamamos paralelos.
De esta forma, la esfera está cubierta por dos grupos de curvas,
los meridianos y los paralelos.
Uno de los paralelos es muy conocido:
es el ecuador, a la mitad del camino entre los dos polos.
Uno de los meridianos fue escogido como origen
por razones históricas.
Pasa por el observatorio de Greenwich, en Inglaterra.
Para describir la posición de un punto sobre la Tierra,
podemos colocarnos en la intersección del ecuador
y del meridiano de Greenwich,
y seguir el ecuador una cierta distancia
medida por un ángulo, representado en rojo: la longitud,
después subir, a lo largo de un meridiano, la distancia indicada
por otro ángulo, representado en verde: la latitud,
hasta llegar a la destinación deseada.
Cada lugar sobre la Tierra está perfectamente determinado
por dos números,
su longitud y su latitud.
Como se necesitan dos números
para localizar un punto sobre la Tierra,
decimos que la esfera es de dimensión dos,
y los matemáticos la llaman frecuentemente S2.
Si ahora autorizamos que el pequeño avión deje la Tierra
y vuele en el espacio,
para describir su posición
necesitamos tres números:
la longitud, la latitud y...
la altura sobre la Tierra.
Como se necesitan tres números
para localizar un punto en el espacio,
decimos que el espacio es de dimensión 3.
En los retratos colgados en la pared,
es Ptolomeo a quien ven, el padre de la cartografía.
¿Cómo dibujar la Tierra?
Un método es proyectarla sobre un plano.
Escojamos una ciudad sobre la Tierra, por ejemplo Dakar.
Podemos trazar la recta que pasa por el Polo Norte y por esta ciudad.
Dicha recta corta al plano de la mesa en otro punto,
que llamamos su proyección.
De esta forma, cada lugar sobre la Tierra puede ser proyectado sobre el plano de la mesa.
Mientras más cercana está la ciudad del Polo Norte,
más lejos se encuentra su proyección en el plano.
¡Podría incluso salir de la mesa!
Es por eso que decimos que el Polo Norte no tiene proyección
o más bien, que su proyección está en el infinito.
Toda la Tierra, a excepción del Polo Norte,
puede representarse sobre el plano de la mesa.
Este mapa del mundo se llama la proyección estereográfica.
Por supuesto... esta proyección no preserva las magnitudes.
Sudamérica, por ejemplo, parece minúscula
comparada con Norteamérica.
Para entender bien la proyección,
vamos a rodar la Tierra como una pelota
y proyectaremos siempre desde el punto más alto.
En la danza de los continentes,
cada uno cambia, a su tiempo, de grande a pequeño.
Pero, si observamos con detalle,
podemos ver que la forma no cambia
aun cuando las longitudes lo hacen.
Por eso decimos que la proyección estereográfica es conforme.
¿Qué pasa con los meridianos y los paralelos cuando proyectamos?
Cuando proyectamos desde el Polo Norte,
los meridianos se convierten en rayos que se originan en el Polo Sur
y los paralelos se convierten en círculos concéntricos.
Y si la Tierra gira, ven que los meridianos y los paralelos
se proyectan en círculos o rectas.
La proyección estereográfica transforma
los círculos trazados sobre la esfera en círculos trazados sobre el plano,
con excepción de los círculos
que pasan por el polo de proyección,
estos son proyectados en rectas sobre el plano.
Vamos a observar el mismo movimiento visto por abajo.
Vemos que los meridianos y los paralelos
forman dos haces de círculos.
Los puntos donde convergen todos los meridianos
son el Polo Norte y el Polo Sur.
¿Lo reconocen?
Es el meridiano de Greenwich
donde termina nuestra primera parte del viaje hacia la cuarta dimensión.