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Bienvenidos a la presentación sobre derivadas.
Creo que vas a encontrar que es cuando la matemáticas empieza
a ser mucho más divertida de lo que era algunos temas atrás
Bueno, vamos a empezar a trabajar con nuestros derivadas.
Sé que suena muy complicado.
Bueno, en general, si tengo una línea recta - Déjame ver si yo
puede dibujar una línea recta correctamente - si yo tuviera una recta
- esas sone mis ejes , que no son rectas -
esta es una línea recta.
Pero cuando tengo una línea recta como esa, y te pido que
encuentres la pendiente - Creo que ya sabes cómo hacerlo
es sólo el cambio en y dividido por el cambio en x.
Si yo quisiera encontrar la pendiente - en realidad quiero decir,
, ya que es una línea recta, la pendiente es la misma
a través de toda la línea, pero si quiero encontrar la pendiente en cualquier
punto en esta línea, lo que yo haría es que eligiría un
punto x - digamos que escoja este punto.
Escogería un color diferente - y escogería otro punto
este punto - que son bastante arbitrarios, podría eligir cualquiera dos
puntos, y calcularía cuál es el cambio en y - este
es el cambio en y, delta y, eso es sólo otra forma de
decir cambio en y - y esto es el cambio en x.
delta x.
Y descubrimos que la pendiente se define como
cambio en y dividido por el cambio en x.
Y otra manera de decirlo es delta - ese triángulo -
y dividido por delta x.
Muy sencillo.
Ahora qué pasa, sin embargo, si no estamos trabajando
con una línea recta?
Dejame ver si tengo espacio para dibujarlo
Otros ejes.
Siguen siendo bastante torcidas , pero creo que entiendes el punto.
Ahora digamos que, en lugar de una línea recta como esta
que sigue el estándar y es igual a mx más b.
Digamos que tenga la curva y es igual a x al cuadrado.
Déjame dibujarlo en un color diferente.
Entonces y es igual al x al cuadrado se ve algo como esto.
Es probable que ya hayas estudiado una curva come esta.
Y lo que voy a hacer es preguntarte, ¿qué es la
pendiente de esta curva?
Y piensa en eso.
¿Qué significa tomar la pendiente de una curva ahora?
Bueno, en esta línea, la pendiente era la misma en todo
la línea.
Pero si nos fijamos en la curva, la pendiente o la tasa de cambio
cambia, ¿verdad?
Aquí es casi plana, y se hace más empinada y empinada
hasta que se pone bastante empinada.
Y si vas muy lejos, se hace hasta más empinada.
Así que probablemente estás diciendo, bueno, ¿cómo calculamos
la pendiente de una curva si la pendiente va cambiando?
Pues no hay una pendiente para toda la curva.
Para una línea, hay una pendiente para toda la línea, porque
la pendiente nunca cambia.
Pero lo que podemos tratar de hacer es encontrar
la pendiente en un punto dado.
Y la pendiente en un momento dado sería la misma que la
pendiente de una recta tangente.
Por ejemplo - dejame escojer un color verde - la pendiente en este punto
aquí sería la misma que la pendiente de esta línea.
¿No?
Debido a que esta línea es tangente a la curva en este punto.
Osea toca la curva, y en ese punto exacto ,
tendrían - la curva azul, y es igual al cuadrado x ,
y la línea verde la misma pendiente.
Pero si vamos a un punto aqui atras, aunque la curva la pinté muy mal
, la pendiente sería
algo como esto.
La pendiente de la tangente.
sería u negativo, y aquí sería un pendiente positivo
, pero si tomamos un punto de aquí, la pendiente sería
aún más positivo.
Entonces, ¿cómo lo vamos a resolver?
¿Cómo vamos a encontrar el valor de la pendiente en cualquier punto
a lo largo de la curva y es igual a x al cuadrado?
Ahí es donde entra en gran uso la derivada, y ahora por la
primera vez realmente vas a ver por qué un límite
es un concepto importante.
Así que voy a tratar de volver a dibujar la curva.
OK, voy a dibujar mis ejes, este es el eje y - Voy a hacerlo en
en el primer cuadrante - y esto es - tengo que encontrar un
una mejor herramienta para hacer esto - esto es el eje x, y luego
dejame dibujar mi curva en amarillo.
Haber entonces y es igual al cuadrado x se ve algo como esto.
Voy a tratar de dibujar esta por lo menos un poco mejor
.
Ok.
Así que digamos que queremos encontrar la pendiente en este punto.
Llamemos a este punto a.
En este punto, x es igual a a.
Y, por supuesto, esto es f de a.
Así que lo que podríamos tratar de hacer es, podríamos tratar de encontrar
la pendiente de una recta secante.
Una línea entre - tomamos otro punto, digamos, un poco
cerca, a este punto en la gráfica, vamos a decir aquí, y si
podemos calcular la pendiente de esta línea, sería un
una aproximación de la pendiente de la curva
exactamente en este punto.
Así que dejame dibujar esa línea secante.
Algo así.
La recta secante se ve algo así.
Y digamos que este punto aquí es a más h, donde
esta distancia es solo h, esto es a más h, sólo vamos
h lejos de a, y luego este punto aquí es
f de a más h.
Mi esphero no esta funciondo bien.
Entonces esto sería una aproximación de lo que la
pendiente es en este punto.
Y lo más q h se achica, lo más que este punto se acerca a
este punto, mejor será nuestra aproximación,
hasta el punto que si pudiéramos obtener el
pendiente en la que h es igual a 0 en realidad sería la
la pendiente instantánea, en ese punto de la curva.
Pero ¿cómo podemos encontrar lo que la pendiente es cuando h es igual a 0?
Entonces etsamos diciendo ahorita que la pendiente entre estos dos
puntos, sería el cambio en y divido por el cambio en x, entonces, ¿qué
es el cambio en y?
Es esto , este punto aquí es - la
coordenada x - se me sigue trabando esto - la cordinada x
es a más h, y la coordenada y es f de a más h
Y este punto aquí, la coordenadas son a y f de a.
Así que si usamos la fórmula de la pendiente estándar como antes
diríamos que el cambio en y sobre el cambio en x.
Bueno, ¿cuál es el cambio en y?
Es f de a más h - esta coordenada y menos esta cordinada y
- f de a, sobre cambio en x.
Y ese cambio en x es esta cordenada x, a más h, menos
esta coordenada x, menos a.
Y por supuesto esta a y esta a se anulan.
Entonces es f de a más h, menos f de a, todo sobre h.
Esto es sólo la pendiente de esta recta secante.
Y si queremos la pendiente de la recta tangente,
sólo tenemos que encontrar que pasa cuando h se hace más pequeño y
pequeño
Y creo que sabes a dónde voy.
En realidad, sólo queremos, si queremos encontrar la pendiente de esta
tangente, sólo tenemos que encontrar el límite de esta
valor cuando h tiende a 0.
Y luego, cuando h tiende a 0, la línea secante se va a
acercar cada vez más a la pendiente de la recta tangente.
Y entonces sabremos la pendiente exacta en el
punto instantaneo de la curva.
Y en realidad, resulta que esta es la definición
de la derivada.
Y la derivada no es más que la pendiente de una
curva en un punto exacto.
Y esto es súper útil, porque
todo lo que hemos hablado hasta este punto es
la pendiente de una línea.
Pero ahora podemos tomar cualquier curva continua, o la mayoría
de curvas continuas, y encontrar la pendiente de la curva
en un punto exacto.
Así que ahora que te he dado la definición de lo que es un derivado
, y tal vez con suerte un poco de intuición, en la
próxima presentación voy a usar esta definición para realmente
aplicarlo a algunas funciones, como x al cuadrado y los demás, y
darte unos problemas más.
Te veré en la próxima presentación