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Hemos aprendido acerca de suma de matrices, resta de matrices,
multiplicación de matrices
así que posiblemente se estén preguntando si existe
un equivalente a la division de matrices
Y antes de entrar en materia permítanme presentarles
algunos conceptos.
Y después nos daremos cuenta de que no
es exactamente una división pero es análoga a ella.
así que antes de empezar con eso les voy a presentar
el concepto de matriz identidad.
Una matriz identidad es una matriz
Y voy a anotarlo con "I" mayuscula
Cuando la multiplico por otra matriz
no se si debería escribir ese punto ahí pero sigamos
cuando la multiplico otra matriz
obtengo esta otra matriz
O cuando multiplico esa matriz por la matriz identidad
obtengo la matriz de nuevo
Y es importante darse cuenta que cuando estamos
multiplicando matrices la dirección si importa
De hecho les he comentado aquí que
no podemos asumir cuando estamos haciendo una multiplicación regular
que a veces "b" es siempre igual a "b" por "a"
Es importante confirmar que
si importa la direccion en la cual
estamos haciendo la multiplicacion.
Y esto funciona en ambas direcciones solo si estamos
tratando con matrices cuadradas
Puede funcionar en una dirección o en la otra si esta matriz no es
cuadrara, pero no funcionara en ambas.
Y pueden pensar en eso solo en términos de como
aprendimos multiplicación de matrices, por que es que eso sucede.
en fin... He definido esta matriz
Ahora como es que esta matriz se vé
de hecho es muy simple
Si tenemos una matriz 2x2 , la matriz identidad es 1, 0, 0, 1.
Si quieren 3x3, es 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.
Creo que pueden ver el patrón
Si quieren una matriz 4x4 la matriz identidad es 1, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.
así que como pueden ver que cualquier matriz es de
una dimensión dada, es decir podemos extender esto hasta una matriz "n" por "n"
es que sólo tiene 1 a lo largo de esta parte superior izquierda hacia
las diagonales derechas.
Y todo lo demas es un "0"
así que una vez aclarado ese punto
probemos que de hecho funciona
Tomemos esta matriz y multipliquémosla por
otra matriz
Y confirmemos que esa matriz no cambia
así que si tomamos 1, 0, 0, 1.
Multipliquémosla por --(hagamos una matriz general
solo para que vean que funciona para todos los números)
a, b, c, d.
a cuanto equivale ?
Vamos a multiplicar esta fila por esta columna
"1" por "a" mas "0" por "c" es "a"
Y esta fila por esta columna
"1" por "b" mas "0" por "d"
es "b"
después esta fila por esta columna
"0" por "a" mas "1" por "c" es "c".
Y finalmente, esta fila por esta columna
"0" por "b" mas "1" por "d"
es simplemente "d"
ahí lo tienen.
Y de hecho podría ser un ejercicio divertido intentarlo
a la inversa.
Y de hecho es un ejercicio mejor aun intentarlo
con una matriz 3x3
y verán que todo funciona
Y un buen ejercicio para ustedes seria pensar por que es que funciona
y si piensan en ello es por que están obteniendo
la información de la columna aquí y la información
de la columna de aqui.
Y esencialmente cualquier ves que esten multiplicando, digamos
este vector por este vector están multiplicando
los términos correspondientes y después sumándolos verdad ?
asi que si tienen un "1" y un "0", el "0 "va a cancelar
cualquier cosa menos el primer termino en este vector de columna.
es por eso que simplemente les queda "a"
y es por que que vamos a cancelar todo menos
el primer termino en este vector de columna.
y es por eso que todo lo que les queda es "b"
y de manera similar, esto cancelara todo menos
el segundo termino
es por eso que solo queda "c"
esto por esto
nada mas queda "c"
esto por esto
simplemente queda "d"
y lo mismo aplica cuando multiplicamos
vectores 3x3 o nxn
interesante verdad ?
tenemos el vector identidad
y si quisiéramos completar nuestra analogía
pensemos en ello
sabemos que en matematicas regulares si tenemos
"1" por "a" obtenemos "a"
y también sabemos que "1" sobre "a" por "a" -- (y esto es simplemente
matemáticas regulares, no tiene nada que ver con matrices) -- es igual a "1"
Y sabemos que llamamos a esto el inverso de "a"
Y es lo mismo que dividirlo por el numero "a"
así que, ¿hay una matriz análoga?
déjenme cambiar de color, por que he usado demasiado
el verde
Habrá una matriz donde si tuviera la matriz "a" y
multiplicara esa matriz --(y llamare a esa la matriz inversa de a) --
habrá una matriz con la cual me quedara no con el numero
1 sino con el equivalente de 1
en el mundo de las matrices ?
En donde me quede la matriz identidad ?
y seria extra cool si pudiera de hecho voltear
esta multiplicación
"a" por "a" inverso también debería ser igual a
la matriz identidad.
Y si piensan en ello, si estas dos cosas son ciertas
entonces no simplemente "a" es inverso de "a" sino
tambien "a" es tambien el inverso de "a" inverso
son inversos de cada cual
es lo que quise aclarar.
y resulta que hay una matriz
que es llamada inverso de "a"
como lo he mencionado ya 3 veces
Y ahora les mostrare como calcularlo
así que hagámoslo !!
Y veremos que calcular una matriz 2x2 es bastante
sencillo.
aunque podrían pensar que es un poco misterioso en cuanto a como
la gente ideo la mecánica de ello, o el
algoritmo para ello.
3x3 les tomara algo de trabajo
4x4 les tomara todo el día
5x5 definitivamente van a cometer un error por descuido
si han echo un inverso de una matriz 5x5
es mejor dejárselo a una computadora
pero en fin, ¿como calculamos la matriz?
pues hagámoslo, y luego confirmaremos que realmente
es el inverso.
así que si tenemos una matriz "A" y esta se compone de a, b, c, d.
y quiero calcular su inverso
su inverso es de hecho --(y les parecerá
como un truco de magia)--
en videos futuros, les explicare un poco mas
acerca de el por que esto funciona, o de hecho les mostrare como
fue que resulto.
pero por ahora es mejor memorizar los pasos
para que tengan la confianza de que saben como hacerlo
y poder calcular una matriz inversa
es igual a "1" sobre este numero por este numero por este, "a" por "b"
"-b" por "c"
"ad" menos "bc"
y a esta cantidad, "ad" menos "bc" se le llama el
determinante de la matriz "A"
y vamos a multiplicarlo
esto es simplemente un numero
es una cantidad escalar
y vamos a multiplicar eso por
--(cambian la "a" y la "d")
cambian la de la esquina superior izquierda y la de la inferior derecha
y les queda "d" y "a"
y hacen a estos dos, el inferior izquierdo
y superior derecho negativos
entonces "-c" "-b"
y el determinante -- (de nuevo, eso es algo
en lo que van a tener que confiar por ahora) --
en videos futuros, les prometo explicarles mas
y es de hecho algo sofisticado aprender que es
un determinante
y si van a hacer esto en su clase de secundaria
deben saber como calcularlo
aunque no me gustar mencionarlo
así que, ¿que es esto ?
esto es también llamado el determinante de "A"
posiblemente en un examen les pregunten calcular el
determinante de "A"
Déjenme decirles como
y eso se anota con "A" entre signos de valor absoluto
y eso equivale a "ad" menos "bc"
y otra manera de decir esto podría ser "1" sobre
el determinante
así que podrían escribir inverso de "A" es igual a "1" sobre el
determinante de "A" por "d" menos "b" menos "c", "a"
como lo quieran ver.
apliquemos eso a un problema real, se daran cuenta de que
no es tan difícil.
cambiemos las letras, nada mas para que sepan que no siempre
tiene que ser "A"
supongamos que tengo la matriz "B"
y la matriz "B" es 3 (voy a elegir números al azar)
"-4", "2","-5"
calculemos inverso de "B"
iinverso de "B" va a ser igual a "1" sobre
el determinante de "B"
que es el determinante ?
es "3" por "-5" "-2"por "-4"
"3" por "-5" es igual a "15" "-2" por "-4"
"2" por "-4" es igual a "-8"
vamos a restarlo
asi que es "8" positivo
y vamos a multiplicar eso por ?
bueno, pues hemos cambiado estos dos teminos, entonces es "-5" y "3"
y estos otros dos los hacemos negativos
"-2" y "4"
"4" era "-4" por lo tanto se vuelve "4"
y veamos si podemos simplificar esto un poco
inverso de "B" es igual a "-15" mas "8"
es igual a "-7"
entonces es "-1/7"
por lo tanto el determinante de "B"
es igual a "-7"
entonces "-1/7" por "-5", "4", "-2", "3".
lo cual equivale a -- esto es simplemente un valor escalar es simplemente
un numero, así que lo multiplicamos por cada elemento.
lo cual equivale a menos, menos, mas
es "5/7"
"5/7" menos "4/7"
veamos
"2/7" positivo
y "-3/7"
es un poco complicado
terminamos con fracciones aquí
pero confirmemos que realmente es el inverso
de la matriz "B"
multipliquémoslos
y antes de que lo haga, tengo que hacer un poco de espacio
ya no necesito esto
listo !!
OK.
confirmemos que eso por esto o esto
por eso es realmente igual a la matriz identidad
hagamoslo !!
cambiemos el color
inverso de "B" es "5/7", si no he cometido ningún
error por descuido
"-4/7"
2/7
y "-3/7"
es inverso de "B"
y déjenme multiplicarlo por "B"
"3", "-4"
"2", "-5"
y esto será el producto de la matriz
necesito algo de espacio para hacer mis cálculos
déjenme cambiar de colores
voy a multiplicar esta fila por esta columna
"5/7" por "3" es igual a ?
"15/7"
mas "-4/7" por "2"
"-4/7" por "2" es igual a --(dejemne asegurarme)--
"5" por "3" es igual a "15/7"
"-4" ohh si si, "4" por "2" es igual a "-8/7"
ahora vamos a multiplicar esta fila por esta columna
"5" por "-4" es igual a "-20/7"
mas "-4/7" por "-5"
es "20/7" positivo
my cerebro se esta empezando a alentar debido a tener que hacer multiplicaciones
de matrices con fracciones, con números negativos
pero es un buen ejercicio para múltiples
partes de el cerebro
pero de cualquier modo
volvamos y resolvamos este termino
ahora vamos a multiplicar esta fila por esta columna
"2/7" por "3" es "6/7"
mas "-3/7" por "2"
es "-6/7"
un termino más
estiremos un poco
"2/7" por "-4" es "-8/7"
mas, "-3/7" por "-5"
estos negativos se cancelan y nos queda "15/7" positivo
y simplificando que obtenemos?
"15/7" menos "8/8" es "7/7"
lo que equivale a "1"
esto claramente es "0"
esto es "0"
"6/7" menos "6/7" es "0"
y "-8/7" mas "15/7" es "7/7"
es "1" de nuevo
y ahi lo tienen !!
hemos de hecho logrado obtener el inverso de esta matriz
y fue de hecho mas difícil probar que era el inverso
multiplicando, simplemente por que tuvimos que hacer todas estas matemáticas
con fracciones y números negativos
pero esperemos que les haya servido
y ustedes pueden probar al revés simplemente para confirmar que si
multiplicamos al revés también obtendremos
la matriz identidad
pero en fin, así es como se calcula
el inverso de una matriz 2x2
y también veremos en el siguiente video como calcular el
inverso de una matriz 3x3 es aun mas divertido
los veo pronto !