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Vamos a estudiar qué son las curvas de nivel de una función.
Las curvas de nivel de una función, aunque
se pueden estudiar de forma genérica para funciones de
n variables
independientes, funciones reales
de varias variables independientes nos vamos a centrar en lo
común que son
funciones reales
que van de R2 a R, es decir, funciones reales de dos variables
independientes y que esas dos variables independentes pues le asignan una
variable dependiente y que están definidas
sobre el dominio de la función.
Bueno pues en este caso si tenemos esa función de dos variables
independientes decimos que una curva de nivel
de dicha función está formada por todos aquellos
vectores, por todos aquellos
pares x y
para los cuales el valor de la función es una misma constante, es decir, está
formado por todos aquellos pares x y para los cuales el valor de la función
es fijo, no se modifica, para todos aquellos x y
que comparten la misma imagen, todos ellos valores x y que comparten la
misma imagen
decimos que forman una curva de nivel.
Por tanto,
cuando tenemos una función que depende de dos variables independientes sus
curvas de nivel
se corresponden
con aquellas combinaciones de x y que tienen la misma imagen. Esto nos va a
poder, esto nos va a permitir
representar gráficamente
las funciones de dos variables
independientes que por lo general no podríamos representarlo. Cuando representamos
gráficamente tenemos como máximo dos ejes, el eje vertical y el eje horizontal
y si tenemos funciones con dos variables independientes
necesitaríamos tres ejes,
dos ejes para las variables independientes y un tercer eje para
poder representar la variable dependiente, no lo podemos hacer.
Sin embargo, con las curvas de nivel vamos a poder hacerlo.
Ejemplos de curvas de nivel,
pues por ejemplo ocurren con las funciones de utilidad.
Las funciones de utilidad de los consumidores sabemos que
lo que hacen las funciones de utilizar es definir a un consumidor
asignando un valor real
a cada posible cesta de consumo. Las cestas de consumo están formadas por unidades
de bienes, por x1 y x2.
Tenemos dos bienes distintos, el bien 1 y el bien 2, una cesta de consumo
indica unidades de bien 1 y unidades de bien 2 y la función
y tenemos una función de utilidad que para cada cesta nos asigna un valor,
nos dice cuánto le gusta al consumidor dicha cesta.
Dicha cesta que está formada, podemos imaginar, por kilos de
manzanas
y por kilos de naranjas
y esa función de utilidad nos dice tantos kilos de manzanas y tantos kilos de naranjas
al consumidor le gusta tanto, pues le gusta 3, le gusta 7.
Las curvas de indiferencia lo que nos indican son
todas aquellas cestas de consumo que le generan la misma utilidad al consumidor, es decir,
todas aquellas cestas de consumo en las que el consumidor
es indiferente.
Por tanto la curva de indiferencia es la curva de nivel
de la función de utilidad.
Veamos un ejemplo:
supongamos un consumidor que está definido por esta función de utilidad
bueno las cestas formadas por
x1 unidades del bien uno y x2 unidades del bien 2, x1 kilos de
manzanas x2 kilos de naranjas, le dan una utilidad
de x1 por x2.
Bueno podemos obtener, por tanto, la curva de indiferencia de utilidad 20 que nos
daría pues todas las combinaciones de manzanas y de naranjas que me dan
20 de utilidad.
¿Cuáles serían? Pues todas las cestas para las cuales x1 por x2 sea
igual
a 20, esa sería la curva de utilidad de nivel 20.
Otro ejemplo de curvas de nivel
lo tenemos con las funciones de producción que dependen de dos variables
de los factores productivos y las isocuantas.
Por ejemplo imaginemos que una fábrica de automóviles fábrica
con capital y trabajo
de forma que x1 representa el capital y x2 representa el trabajo,
siguiendo esta función de producción
x1 por x2 elevado a 0.5 k por l elevado a 0.5
ya que x1 y x2 esto nos indican, respectivamente, las horas de maquinaria y de trabajo
utilizadas.
En teoría económica decimos que una isocuanta para dicha empresa está
formada por todas aquellas combinaciones de capital y de trabajo, todas aquellas
combinaciones de factores productivos que le permiten a la empresa producir una misma
cantidad de producto,
es decir, todas aquellas combinaciones de factores x1 y x2
con las cuales conseguimos una producción constante q,
por tanto la isocuanta,
que tenemos en teoría económica la isocuanta de teoría
económica
relativa a la función de producción es la curva de nivel
de la función de producción. En el ejemplo que teníamos, por ejemplo, con
esta función de producción x1 por x2 elevado a 0.5
podemos obtener la isocuanta de nivel 10 que serán todas las combinaciones de
capital y trabajo que nos permitan producir 10 unidades de producto, pues
eso serán
las combinaciones x1 y x2 de
x1 unidades de capital x2 unidades de trabajo para las cuales se cumpla que
x1 por x2 elevado a 0.5 sea igual a 10.
Bueno vamos a ver un ejemplo genérico sin
funciones de utilidad,
sin funciones de producción sino simplemente una función matemática que
va de R2 a R que definimos como tenéis ahí indicado.
x elevado a 0.5 + y elevado a 0.5
para cada vector xy esta función nos da un valor real.
Y lo que vamos a hacer es
hallar su curva de nivel 5, es decir, todas las combinaciones de x y de y para las
cuales
la función vale 5.
¿Cuándo ocurre esto? Bueno pues
x elevado a 0.5 + y elevado a 0.5, vamos a buscar los x elevado a 0.5 y los y elevado a 0.5 que nos den 5.
Esto si despejáis ocurre cuando y elevado a 0.5 sea igual a 5 menos x elevado a 0.5
y si lo elevamos todo al cuadrado pues vemos que
que
cuando
la
x elevado a 0.5 + y elevado a 0.5 será igual a 5 cuando la y sea igual a 25 - 10x elevado a 0.5 + x
Esa va a ser la curva de nivel.
Esta son los xy en los que se cumpla que la y sea igual a
esta expresión de la x
serán todas las combinaciones de x y de y que me generan
5
para las cuales el valor de la función es 5.
Podemos hallar
las curvas de nivel c,
es decir, pues todas las curvas de nivel.
x elevado a 0.5 + y elevado a 0.5 que sean igual a una constante c
pues despejamos la y de esa expresión y elevado a 0.5 es igual a c - x elevado a 0.5
para
dejar
la y de esta manera
pues lo que hacemos es elevar al cuadrado a los dos lados y nos queda que
la y será igual a c al cuadrado - 2cx elevado a 0.5 + x
donde c es el nivel
de la curva de nivel, el valor que toma la función
en esos puntos. Podemos representarlo gráficamente, podes representar todas las
curvas de nivel.
Tenemos puesto
aquí el eje x y aquí el eje y
y representando y igual a
c al cuadrado - 2cx elevado a 0.5 + x
pues representaríamos las curvas de nivel, le damos un valor a c.
Por ejemplo si c vale 8 pues nos queda esta función de aquí, si c vale 7 nos queda
esta función de aquí, si c vale 5 pues nos queda esta función de aquí que
tenéis ahí indicado.
Podemos unir todos los valores de x y de y, ahí estamos viendo todos los valores
de x y de y
que nos generan el mismo valor
de la función que estamos estudiando y fijaros que lo que nos indican esos
puntos
es la altura que si imaginamos que el valor de la función lo ponemos en un
tercer eje, un eje que fuera vertical que viniera hacia nosotros
es 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, el valor de la curva de nivel pues podemos imaginar
que
es
el valor de la función sobre ese eje vertical que vendría hacia nosotros. En
esos puntos que tenemos
ahí en azul, en todos esos puntos la función valdría 2, en todos los puntos
que tenéis ahí la función valdría 3,
en todos estos puntos que tenemos aquí la función va a valer 8
y de esta manera podemos estar representando e imaginandonos
cómo es una función de dos variables independientes.