Tip:
Highlight text to annotate it
X
En el video anterior descubrimos que un triángulo equilátero de lado 2 tiene área raíz de
3. Quedaron varias interrogantes, entre ellas, determinar el área de un triángulo equilátero
de lado 4.
Como los lados se han duplicado, podríamos pensar que el área también se ha duplicado
y sería 2 raíz de 3. Sin embargo, el área parece mucho más grande. Y en efecto lo es.
Si intentamos rellenar el triángulo de lado 4 con triángulos de lado 2, veremos rápidamente
a la Trifuerza, esa mítica reliquia que cumplirá tus deseos si logras tocarla.
¡Rayos!, espera, lo que quería decir es que en el triángulo grande caben 4 triángulos
de lado 2, lo cual quiere decir que el área del triángulo de lado 4 es cuatro veces mayor
al de lado 2, es decir 4 raíz de 3.
Veamos qué sucede con el triángulo equilátero de lado 1. Tal como hicimos antes, es posible
rellenar el triángulo de lado 2 con cuatro triángulos de lado 1. Esto quiere decir que
el área del triángulo de lado 1 es la cuarta parte del de lado 2, es decir, raíz de 3
entre 4
Esto soluciona dos de los problemas planteados, aunque me resulta un poco curioso que al duplicar
los lados, se cuadriplique el área. ¿Qué pasará con la altura?
Teniendo el área y la base del triángulo, es posible calcular la altura. Fíjense en
la fórmula. Tenemos que el área es igual a la base por la altura entre dos. Entonces
4 raíz de 3 es igual a 4 por la altura entre dos. 4 entre 2 es 2, y al dividir ambos miembros
entre dos, tenemos que la altura es 2 raíz de 3. Mmm...
Al hacer lo mismo con el triángulo de lado 1, tenemos que raíz de 3 entre 4 es igual
a 1 por la altura entre dos. Al multiplicar ambos miembros por 2, tenemos que la altura
es raíz de 3 entre 2.Entonces, observamos que al duplicar los lados, se duplica la altura.
De hecho, podríamos conocer la altura de cualquier triángulo equilátero, basándonos
en el hecho de que la altura del triángulo de base 1 es raíz de 3 entre 2. Por ejemplo,
si el triángulo fuera de base 3, sabría que su altura sería 3 raíz de 3 entre 2.
Si la base fuera 6, la altura sería 3 raíz de 3 y así sucesivamente.
Al ampliar un triángulo equilátero por un factor k, que puede ser 3, 6 o cualquier otro
número, vemos que tanto sus lados como su altura son ampliados por dicho factor. Y,
al calcular el área, notamos que ese factor queda multiplicado por sí mismo. Es por eso
que al duplicar los lados, se cuadruplicaba el área.
Entonces, al triplicar los lados, el área aumentará 9 veces y al cuadruplicarlos, el
área aumentará 16 veces.