Tip:
Highlight text to annotate it
X
Vamos a ver ahora algunos ejemplos de funciones reales pues de las más
habituales.
Vamos a repasar algunos tipos de funciones y su representación
Para
representar una función real
lo que tenemos que hacer es indicar en el eje horizontal
representamos los valores de la variable independiente y en el eje
vertical representamos el valor que para cada valor de la variable independiente
toma la variable dependiente la f de x
Una función
real muy común es la recta.
Una recta es una función que es una función del
tipo
f(x)=a+bx donde a y b pues son simplemente
números reales.
Lo que debemos saber de una recta es que el valor de esta a, que tenéis ahí indicado
nos indica la ordenada en el origen, es decir,
el punto de corte con el eje vertical de la función,
mientras que el valor de b nos indica
la
pendiente que tiene la función, es decir, lo inclinada que es.
Las rectas están siempre definidas para cualquier número real, es decir, cuando
tenemos una recta su dominio es todos los números,
todos los números reales.
Las rectas también las podemos expresar de otras maneras, hay otras
ecuaciones de la recta aparte de ésta que es
la forma normal de la recta.
Bueno pues por ejemplo una recta la representamos de esta manera. La recta
f(x)= -4+2x tendría esa representación.
El -4, como hemos dicho anteriormente, es el punto
por el que corta el eje vertical,
la función, y el 2 sería la pendiente, lo inclinada que está,
que viene a ser la inclinación que tiene dicha pendiente.
La forma de representar las funciones
pues podría ser
simplemente dándole valores a las funciones.
Si esta función estamos diciendo que
es
f(x)= -4+2x
bueno pues podríamos hacer una tabla de valores y entonces ver para
cada valor de la x qué valor tendría la función.
Esto sería muy fácil de representar. Cuando la x es 0, pues esta
función -4 +2x sería -4. Como hemos dicho este es
el punto de corte con el eje.
Cuando la x vale 2
esta función - 4+4 sería 0, cuando la x vale 4 la función
sería
4, cuando la x vale 6
la función sería 8.
Entonces cuando x vale 0 la función vale -4, que lo tenéis ahí, cuando x
vale 2 la función vale 4,
cuando x vale 4,
perdón cuando x vale 2 la función vale 0, cuando x vale 4
la función vale 4, cuando x vale 6
la función vale 8
y estos puntos
pertenecerían a la función.
En realidad para representar una recto sólo necesitamos
dos puntos, porque la recta
esa función,
porque sólo hay una recta que pase por dos puntos pero podemos representar todos los
que queremos. En general cuando tengamos que representar funciones que no sean rectas
necesitaremos
más de dos puntos para su representación.
Otro tipo de función muy común es la función polinómica. Llamamos
función polinómica a una función de este tipo que tenéis ahí indicado,
es decir,
una función de un número real x donde lo que tenemos es
x elevado a números naturales
multiplicados por un número, puesto esto sería
un número real
+
un número real multiplicado por x + un número real multiplicado por x al cuadrado
+ un número real multiplicado por x al cubo,
+ así sucesivamente.
Estas funciones
que llegan hasta x elevado a n se le llaman función polinómica de grado n,
donde n es el mayor
exponente a que está elevada la variable independiente, a la que se encuentra
elevada la variable independiente.
La función polinómica de grado cero va a ser simplemente una constante, va a ser
una línea horizontal. La función polinómica de grado uno es la recta que
acabamos de ver , la función polinómica de grado 3 es una parábola.
Y bueno las funciones polinómicas siempre están definidas para cualquier
número real.
Por ejemplo, pues esto es una función polinómica de grado 2 que es una
parábola de este tipo, si lo prolongáramos haría así.
Esto es una función polinómica de grado 3. Las funciones polinómicas de grado
3
pueden
tener una situación como ésta, pues un
máximo local y un mínimo local y después crecerá hasta infinito y decrecerá hasta infinito.
Las de grado 4 podrían tener una curvatura más y así
sucesivamente.
¿Cómo las representamos? Dándole valores a la x, para distintos valores de x
vamos dándole distintos valores a x y los vamos representando.
Otro tipo de función son las funciones racionales. Las funciones racionales
lo que tenemos es una fracción
en la que tenemos una función polinómica
en el numerador y otra en el denominador.
Por ejemplo una función racional sería ésta que tenéis aquí.
x a la cuarta - x al cuadrado +1 partido por x al cuadrado -1
Las funciones racionales
no están definidas,
la x no pertenece al dominio,
no pertenecen al dominio aquellos puntos para los cuales
la
la función polinómica de abajo,
del denominador,
sea igual a 0, porque entonces el cociente no está definido. En este caso
que tenéis ahí: x al cuadrado - 1 x al cuadrado -1 es igual a 0
cuando la x sea igual - 1 o a + 1
y por tanto el dominio de la función, esta función
no existe
cuando x al cuadrado menos 1
sea igual a 0. El dominio son todos los números reales menos el -1 y el 1
que no pertenecen a su dominio. De hecho, si os fijáis aquí en la
representación de la función.
ésta seguiría por aquí y seguiría por aquí.
Cuando nos acerquemos aquí,
al -1, veis aquí que hay una discontinuidad muy grande y en realidad para
el -1 concretamente la función no existe;
y por aquí lo mismo, cuando nos acercamos al 1 pues también.
Tenemos unas cosas que esto se llaman
asíntotas verticales en esos elementos
y justo cuando vale 1o -1 pues no está definido, esos puntos no pertenecen al
dominio.
Otras funciones muy comunes son las exponenciales en la que lo que tenemos
es
la x en el exponente.
Bueno, de forma general,
estas funciones cuando la b es mayor que 0,
que es cuando van a estar definidas
por
todas partes cuando la b es mayor que 0
las funciones exponenciales están definidas para todos los números reales.
Sus imágenes van a ser,
su imagen va a ser
odo números reales o todo números negativos dependiendo
del
signo que va multiplicando a la b elevado al exponente.
Uno tiene esta forma,
suelen tener esta forma hacia arriba o hacia abajo,
dependiendo del signo que lleven. La función exponencial más común
es en la que elevamos el número
e a la x.
Otro tipo de función sería la función logarítmica, que esa función inversa de la
función exponencial,
donde f(x) es igual a logaritmo en base a de x.
¿Cuándo no están definidos los logaritmos? Los logaritmos no están
definidos cuando la x sea
negativa o 0,
y por tanto el dominio de una función logarítmica no va a
incluir aquellos elementos
para los que
lo que nos queda dentro del dominio sea 0. En este caso como es la x
cuando la x sea
0 o negativa no pertenecería al dominio, esta función, el dominio de
esta función,
el dominio de f(x)
estará formada por
los números reales positivos,
únicamente por los números reales positivos, no el 0 para el cual no está definido.
El logaritmo más común es el logaritmo en base e, al que llamamos logaritmo
neperiano.
Otros tipos de funciones son las funciones trigonométricas que vienen vinculadas
con
con los ángulos de las circunferencias.
La función seno de x, la función coseno de x, la función tangente de x
son las más comunes de las funciones trigonométricas. Las tenéis
aquí
allí representadas. La función seno de x en rojo, la función coseno,
perdón la seno de x la tenéis en azul, la coseno de x la tenéis en rojo
y la tangente de x la tenéis en verde.
Seno de x y coseno de x están definidas para todo, para cualquier valor
de x, mientras que la tangente de x
no está definida
cuando la x vale
Pi medios
o múltiplos impares de Pi medios, es decir, tampoco está definido para 3 medios, para
5 medios, para 7 medios.
Entonces si tenemos la tangente de x
y a su dominio no pertenecen estos elementos que acabo de decir, pues Pi medios, 3 medios,
5 medios y si tuviéramos una función aquí dentro pues no
pertenecerían
aquellos elementos para los cuales esa función diera
Pi medios,
3 medios,
3 Pi medios, 5 Pi medios y así sucesivamente.
Finalmente,
no es un tipo funciones pero
señalaros que cuando definimos las funciones podemos definir las funciones de
forma partida. ¿Qué significa de forma partida? Que en distintas partes del dominio
podemos tener distintas fórmulas matemáticas y esto sigue siendo una
función.
Por ejemplo esta función
nos dice que cuando la x sea menor que 0 esta función sigue el seno de x
y cuando la x es mayor o igual que 0 esta función sigue
10-x Es una recta.
Bueno pues esto
simplemente cuando x es cero pues tendríamos el seno que, como habéis visto,
pues
sigue ondulado y a partir de este momento sería 10 - x que
se representa de esta manera. Puesto esto sería una función.
Aunque estén partidas pues son funciones porque a cada número real te dice qué
número real le corresponde. Por ejemplo sería éste.
La función f(x) podría ser uno partido por x si la x es distinta
de 0
y 5 si la x es igual a 0. Fijaos que el dominio
de esta función pueden ser todos los números reales porque para el único número real
que esto no existe
es cuando x vale 0 y esta función,
en cambio, cuando x vale 0 pues nos dice que la función vale 5 y por tanto sí
que va a estar definida
esta función en todos los números reales.