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DR JAMES GRIME Hoy, quiero contarte que casi todos
los enteros contienen el dígito 3.
Cuando digo enteros hablo de los números enteros.
Entonces digo que casi todos los números enteros.
contienen el dígito 3.
Suena extraño, no?
Si, porque puedo pensar infinitos números que
contienen un 3.
Tengo 3, 33, 333, 3.333, y siguiendo.
puedo pensar infinitos números que
no contienen un 3.
7, 77, 777, y 7.777 y siguiendo.
como pueden casi todos los enteros contener el dígito 3?
Entonces 23 contiene el dígito 3.
310 contains the digit 3.
9,002,023.
Que hay de los números menores que 10?
Cuántos números menores que 10 contienen el dígito 3?
Es solo 3, no?
Si, solo uno de ellos.
Correcto.
Entonces uno de esos, solo el número 3.
Cuál es la proporción de números?
Bueno, es uno de diez.
Entonces es 1/10.
Es 0.1.
Es el 10%.
Cuál es el siguiente tamaño?
Miremos los números menores que 100.
Tenemos 3.
Tenemos 13, 23, 43, 53, 63, 73, 83, 93.
Tal vez te diste cuenta que me salteé los 30 ahí.
Entonces tenemos 30, 31, 32, 33, 34, 35--
Entonces tenemos 19.
19 de 100, eso es 0.19.
Lo que digo es que es el 19%.
El porcentaje subió.
Tratemos con números menos que 1,000.
Bueno, tenemos los 19 que ya contamos, no?
Pero tenemos todos esos números de nuevo,
pero con un 1 al frente.
Como 103 y 113 y luego tenemos 200 y algo.
Tenemos 400 y algo, 500, 600, 700, 800, 900.
Y luego podemos incluir todos los 300s,
que no conté ahí.
Entonces el 300, 301, 302, 303, correcto?
Esos son 271.
Cuál es el porcentaje?
Eso sería 0.271--
27%.
Está subiendo.
Notaste el truco que usé recién
para ese último?
Dije, piensa en todos los números con un 1 al frente.
Es la misma copia con un 1 al frente, con un 2 al
frente, luego venían los 300's.
Puedes hacer esto en general.
Los números que contienen un 3-- llamemos a esos T, de 3.
Llamemos a estos 10.
Menos que 10 elevado a la n.
Entonces estos son los números que contienen un 3, menores
que 10 elevado a la n.
Si quieres encontrar el siguiente-- y
eso va a ser 10,000.
Tomas el último de tus números anteriores, multiplícalo por
9, y luego suma 10 elevado a la n.
Y puedes encontrar el próximo número.
Puedes hacer eso.
Entonce ese sería el siguiente que estamos buscando.
Hay una pequeñna fórmula ahí.
Hagamosla.
De acuerdo, voy a usar mi calculadora.
Entonces 9 por 271, más 1.000.
Y obtengo ese número, 3.439.
Cuál es la proporción?
Eso sería 0,3439.
Sube todo el tiempo-- cerca del 34% ahora.
Aumenta todo el tiempo.
De hecho, hay una forma simple de calcular cuantos números
van a tener un 3.
Imagina que estuviese permitido escribir mis números así,
con ceros.
Entonces eso sería cero, pero con todos estos ceros ahí.
Este es un número de 4 dígitos.
Entonces aquí hay otro, y aquí hay otro más.
Cuantos números de 4 dígitos hay?
Hay 10 elevado a la cuarta potencia.
10 opciones ahi, 10 opciones ahi, 10 opciones, 10 opciones.
Cuantos números no tienen un 3?
Bueno, si no puedo usar 3, entonces tengo 9
opciones para ese lugar, 9 opciones para ese lugar, 9
opciones para ese lugar, 9 opciones para ese lugar.
Entonces eso sería 9 elevado a la 4.
Si quieres calcular cuantos enteros contienen el
dígito 3, es 10 elevado a la n, menos 9 elevado a la n.
Mira, estos son mis números de n-dígitos menos los que
no contienen un 3.
La proporción, entonces, va a ser esto, dividido
por esto otro--
solo 10 a la n.
Así que da esto.
Y cuál es esta proporción?
10 a la n dividido por 10 a la n es 1, menos 9 a la n
dividido por 10 a la n.
Hay otra forma de escribir eso--
9/10 a la n.
Esa es la proporción que contienen el dígito 3.
Y qué pasa con esto?
Bien, mientras esto crece más y más, esta fracción se vuelve
cada vez más pequeña.
Y tiende a 1.
Eso desaparecerá.
No valdrá la pena mencionarlo.
Y eso es 1.
Así que tiende a 1--
decimos, mientras n crece.
Esto se vuelve cada vez más cercano a 1 menos 0.
Mientras esto se acerca más a 0, mientras crece, esto se acerca
cada vez más a 1 menos 0.
Así que todo junto está tendiendo al 100%.
100% de los números tienen el dígito 3.
Y esta es la definición propia y técnica de cuando dije que
casi todos los números contienen el dígito 3.
"Casi todos" suena como una expresión un tanto vaga.
Pero en las matemáticas, tiene un significado propio.
Significa que la proporción se acerca al 100% mientras
consigues más y más números.
BRADY HARAN: Sería igualmente verdadero decir que casi todos
los números contienen el número 5?
DR JAMES GRIME: Eso sería igualmente verdadero.
Y puedes hacer lo mismo y decir que casi todos los
números contienen un 5.