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Hemos hecho mucho trabajo de multiplicación, adición,
restando e invertir matrices.
Así que ahora vamos a profundizar un poco en lo que es una matriz
realmente bueno para.
Y recuerde, es toda una matriz es, una forma de
representación de datos.
Y todas las reglas aprendimos, puede el tipo de vista
ellos como reglas creadas por humanos.
No existe cosa fundamental en la naturaleza que dice matrices
tienen que multiplicar lo aprendido.
Pero creo que ya verás como avanzamos en aplicaciones,
la forma en que se han definido las operaciones de la matriz
son realmente muy útiles.
Así que volvamos a nuestra Álgebra 1 o 2 de álgebra.
Se me olvida cuando tiendes a aprenderlo.
Pero volvamos a ecuaciones lineales.
Así que, ¿cuáles fueron ecuaciones lineales?
Sistemas de ecuaciones lineales.
Bien tenías dos líneas, y esencialmente tenías que figura
donde se intersectan las dos líneas de salida.
Así que usted podría haber tenido algo similar--me deja pensar
de algo--3 x plus 2 y.
Es igual a 7.
Y luego que usted tenga, menos x 6 plus 6y es igual a--
necesita hacer esto en mi cabeza sólo para asegurarse de que obtener
números que bien--igual a 6.
Creo que esto funcionará bien.
¿Y lo que era esencialmente a este problema?
Bueno este es una línea, y se trata de una línea.
Así que había que averiguar donde intersecan.
Y si usted fuera a dibujar esas dos líneas--
Realmente vamos a dibujarlos.
Sólo porque se trata de conseguir la intuición y viendo
¿Cómo asigna más en el mundo de la matriz.
Y la palabra 'mundo de matriz' tiene un conjunto nuevo
significado después de 1999.
Vamos a ver, así que si ese es mis ejes de coordenadas, ¿qué es esto?
Siempre tengo que poner todo en y es igual a mx
¿Además forma b para mí--entonces esta ecuación es lo que?
Es y es igual a x 3/2 y 7/2.
¿7/2 Es lo que?
¿Es como 3 1/2 o algo?
Así que si es 7/2, va a tener una pendiente de 3 1/2.
Así que es un poco superiores a una pendiente de 1.
Así va a ser algo así.
Es esa línea.
¿Y, a continuación, esta línea va a parecerse a lo que?
Voy a hacer un color diferente.
Va a parecer--es la misma cosa es como--
Oh, ¿saben qué?
Hice ese mal.
Porque esa línea, acabo de darme cuenta, es igual a
menos 3 x más 7/2.
Porque cuando usted toma esta al otro lado, se convierte en
menos 3 x dividido por 2, por lo que realmente va
al estar inclinada hacia abajo.
Así se verá algo como esto.
Va a ser un poco más empinadas que algo que
tiene una pendiente de 1 negativo, así que sólo estoy aproximando.
Para que la línea se verá algo así.
Y esta línea, esta será sólo estoy reescritura de esto--y--
y es igual a x 1, si no me equivoco.
Sí.
Porque esto va al otro lado.
Dividir todo por 6.
y es igual a x 1, por lo que será su intercepción y--nos dijo
Esto fue 3 y 1/2, así que tal vez si se trata de 1.
Y tiene una pendiente de 1.
Entonces sólo veremos algo como esto.
Y por lo tanto cuando usted resolver un sistema de ecuaciones, eres
buscando esencialmente la x y los valores de y que satisfacen
ambas de estas ecuaciones.
Esta línea magenta nos muestra todo el x y y los valores
satisfacer esta primera ecuación lineal.
Y esta línea verde muestra todas las x y y
satisfacer la segunda ecuación.
Y por supuesto donde se entrecruzan nos muestra la
particular x e y que satisface ambas ecuaciones.
Así es lo que hicimos en álgebra 1.
Nos resolvería tanto de estas ecuaciones para eso.
Y tampoco lo haríamos por sustitución, o nos escalaría
ellos y añadirlos juntos, etcétera, etcétera.
Como verá, esencia, eso es justo lo que
aprendido en la eliminación de Gauss-Jordan.
Es exactamente lo mismo.
Es sólo cuando hicimos la eliminación de Gauss-Jordan, nosotros
sólo representó un poco diferente.
Pero creo que saben mucho.
Pero vamos a hacerlo ahora en el mundo de la matriz.
Entonces, ¿cómo podemos representar este problema como una matriz?
Nosotros podríamos escribir como esta, y llevaremos un poco
tiempo para demostrar que realmente es lo mismo
representación.
Si define matrices lo hemos definido en su
multiplicación.
Este problema se puede definir como 3, menos de 6, 2, 6.
Acaba de tomar los coeficientes, 3, menos de 6, 2, 6.
Y si yo fuera a multiplicar que por poco. columna
vector matriz xy.
Y si tuviera que definir igual a otro vector de columna
matriz, 7, 6.
Ahora puede ponerla en pausa y en realidad intente
multiplique esto por la forma en que hemos aprendido a
multiplicar matrices.
Y verá que obtendrá lo mismo.
Pero lo haré ahora, en caso de que usted no
¿desea hacerlo usted mismo.
Así que vamos a multiplicar sólo estas dos matrices.
Vamos a multiplicar esta matriz hacia fuera y ver qué pasa.
Así que, ¿qué haces?
Reciba su información de la fila de la primera matriz, columna
información de la segunda matriz.
Y esto es por supuesto la matriz de productos.
Para que esto, es decir, 3 veces x plus 2 veces y es igual a 7.
Bueno eso es exactamente lo que hemos escrito aquí.
3 veces x plus 2 veces y es igual a 7.
Y del mismo modo cuando se multiplica la fila inferior,
Haz menos x 6 veces más 6 veces y es igual a 6.
Eso si fue un poco confuso para usted, vaya revisión
¿Cómo nos multiplicar matrices.
Pero si sólo multiplicas este, estos obtendrá exacta
mismas ecuaciones.
Así que espero usted entiende que esta es sólo otra forma
de representar a este problema.
Aunque nos hemos librados de los signos más
y los signos de igual.
Pero por supuesto hay que saber la representación.
Pero ¿por qué es útil?
¿Por qué es útil esta representación?
Bueno vamos a llamar a esta matriz una.
Llamemos a este vector x.
No es una variable.
Es un vector.
Así que quizá nos vas a negrita, o vamos a poner un signo poco vector
allí o algo.
Lo que sea.
Pero lo verás en tu libro de texto.
Su verdadero pesado en negrita.
Y entonces llamamos a este vector b.
Y la notación general--si no me equivoco - es
todo lo que es una matriz o un vector está en negrita.
Y matrices que no son vectores, que tienen más de
una dimensión en cualquiera de las dimensiones,
son mayúsculas.
Mientras que letras minúsculas representan vectores.
Así que éstas son matrices, pero también son vectores.
Por eso llegaron las letras minúsculas.
Y por eso esta uno tiene las letras en mayúsculas.
Esta Convención sólo.
Así que esta ecuación tiene la forma ax es igual a b, donde una es esta
matriz, x es este vector--o esta matriz, lo mismo--y
b es el vector de esta columna.
Así que, ¿qué hace para nosotros?
Bueno, ¿qué sucede si supiéramos un inverso?
Bien hecho, permítanme dar un paso atrás.
Si estos números, ¿qué haríamos?
Si sólo te di una ecuación de álgebra, ax es igual a b.
¿Cómo podrás resolver?
Bien podría dividir ambos lados de esta ecuación por una.
U otra forma de decirlo, usted multiplica ambos lados
de esta ecuación por el inverso de un.
Así que diría esencialmente, ax 1/a veces es igual
a b a 1 veces.
Y, a continuación, estas se cancelan, y obtendrá x es
igual a b / a.
Eso es lo que haríamos en un tradicional
simple, ecuación lineal.
Entonces, ¿cómo podría hacerlo aquí?
Bien, ¿qué es la analogía de la matriz a División?
Y voy a darle la respuesta ahora.
¿Qué es la analogía a multiplicar por el inverso?
Bueno, está multiplicando su inversa.
Así que ¿qué pasa si sabíamos la matriz un inverso?
Podríamos simplemente multiplicamos a ambos lados de este
ecuación por un inverso.
Y recuerde, cuestiones de orden.
Así que no es como cuando haces una ecuación lineal
podría multiplicar 1/a en este lado.
Pero, a continuación, puede hacerlo a la derecha aquí.
Pero no.
Tenga en cuenta que la puse delante de los números en ambos casos.
Así que hay que hacer frente a los números en ambos casos.
Pero si sabemos un inverso, y si existe un inverso, entonces nos
puede multiplicar ambos lados--se puede decir que el lado izquierdo de ambos
lados de esta ecuación por una inversa.
una veces inversa, veces el vector x es igual a una
b el tiempo inverso.
Todo lo que hice es tomé esta expresión, y yo multiplicado
ambos lados por un inverso.
Y ¿qué es un veces inversa una?
Bueno eso es solo la matriz de identidad.
Es la matriz identidad, tiempos x es igual
a b inversa.
Y por supuesto es sólo x.
La matriz identidad veces cualquier otra matriz
es sólo que la matriz.
Eso es sólo la matriz x, o el vector x
veces a b inversa.
Así, si está dada una ecuación lineal, y si sabes el
inversa de esta matriz, para resolver para x y y, apenas
tienen que multiplique este número por el inverso.
Y usted podría decir: Sal, que es este dolor.
Porque esto es tan una ecuación lineal simple para resolver.
¿Por qué podría pasar todo el problema de conseguir una inversa,
y luego multiplicando la inversa veces este número.
Y estoy de acuerdo con usted en algún grado.
Que para un sistema de ecuaciones de 2 por 2, es más fácil
¿resolver la forma en que lo hizo en álgebra 1 y 2 de álgebra.
Pero si lo está haciendo bien para un 3 por 3, encontrar una matriz
todavía es bastante difícil para un 3 por 3,
por lo que es todavía difícil.
Pero como usted consigue a mayor y un número mayor, ha
a veces--bien, encontrar una matriz puede ser difícil demasiado--
Pero en realidad el verdadero lugar donde lo realmente, realmente
paga apagado es, digamos que usted tiene un montón de lineal
ecuaciones a resolver.
Y la izquierda sigue siendo el mismo.
Pero van cambiando el lado derecho.
Así que vamos a decir ax es igual a b.
Y luego tienes otro que dice, ax es igual a c,
y ax equivale a d.
Y estos números van cambiando.
Y estos números son los mismos.
Entonces realmente vale solucionar para la inversa.
Y, a continuación, cada vez que usted necesita encontrar una nueva solución, usted
simplemente multiplicar sus nuevos tiempos de lado derecho su
inverso y acaba de obtener la respuesta.
Y que realmente te paga apagado cuando nos ve
Esto de otra manera.
Pero de todas maneras, quería demostrarle que
Esto es lo mismo.
Y así vamos a resolverlo usando lo que nuestros
el conocimiento es de matrices.
Déjame borrar esto aquí, y sé que estoy corriendo con el tiempo,
pero esperemos que no completamente estoy aburrido te.
Así que voy a tener eso, porque creo que
es bueno tener esa representación visual
de lo que estamos haciendo.
Siempre para recordar lo que está pasando.
¿Qué es un inverso?
Lo primero de todo, la una inversa es igual a 1 sobre la
determinante de una veces el adjunto de esta matriz.
No quiero obtener lujo con terminología y todo eso, pero
¿Qué fue eso?
2 por 2 es bastante fácil.
Cambiar estos dos términos. Usted obtiene un 6 y un 3.
Y, a continuación, hacer estos dos términos negativos.
Por lo tanto un signo menos 6 se convierte en un 6.
Y un 2 se convierte en un signo menos 2.
¿Y lo que es el determinante de una?
El determinante de a es igual a este momento esto menos esto
veces esto.
Así 3 veces 6.
3 veces 6 es 18 menos este momento esto.
Así 6 veces 2 es 12.
Eso es un signo menos 6.
Es menos 12.
Por lo tanto menos menos 12.
Es igual a plus.
Por lo tanto 18 plus 12 es igual a 30.
Entonces ¿a una inversa igual?
1 sobre 30 veces esta cosa.
Así un inverso es igual a--incluso podríamos mantener 1/30
la parte exterior.
Podría simplificar las cosas.
Bueno de hecho voy a poner TI--
¿Por lo tanto un inverso es igual a lo que?
Esta dividida por 30.
Por lo es 1/5, menos--realmente quiero mantenerlo
en el exterior, ya que va a hacer el más tarde
multiplicaciones más fáciles.
Así que de todas formas, una es igual a 1/30 veces 6, menos 2, 6, 3.
Es una inversa.
Así que ahora vamos a resolver para x e y.
Así que dijimos x e y es igual a un inverso veces b.
Así podríamos decir x--otra forma de escribir x es así.
x es sólo este vector.
x e y.
Para no confundirse, este x es diferente de la que x, incluso
Aunque he escrito ellos mismo.
Si era un tipógrafo, esto haría realmente audaz,
para que sepa que se trata de un vector.
Tal vez que debo poner una notación vectorial.
No sé.
Podría hacer un montón de cosas con él.
Es igual a un inverso veces esto.
Por lo es 1/30.
Lo hice sólo para la adición de matriz.
No divido todo por 30, tan la matriz
multiplicación s un poco más fácil.
Menos 2, 3 veces, 7/6.
Y ¿qué es este igual?
Es igual a 1/30 veces--sé que estoy desplazando esta abajo
vamos a ver aquí--.
7 6 veces menos 6 2 veces.
Así que 7 6 veces es 42.
Menos 6 2 veces, así que menos 12.
Así es igual a los 30.
Y, a continuación, 6 veces 7 plus 2 veces 6.
6 Veces 7, una vez más es 42.
Además 2 veces 6.
Así que 42 plus 12 es 50.
¿Es eso correcto?
6 veces 7--oh lo siento.
Se trata de un 3.
Por eso fui consiguiendo confundido.
Ver, es importante tener buena caligrafía.
Por lo que es 6 veces 7 es 42, más 3 veces 6.
Así que es 42 más 18, que es de 60.
Y por supuesto divida ambos por 30.
Así llegas a la final xy.
Voy a escribir aquí.
No quiero borrar nada.
Así obtenemos xy es igual a--dividir ambos por 30--
es igual a 1 y 2.
Así que nos dice que estos dos sistemas de ecuaciones lineales
se cruzan en el punto x es igual a 1, y es igual a 2.
Que puede parecer un poco de mucho trabajo, pero que
sólo porque tomo el tiempo para explicar y todo eso.
Pero si usted sólo inmediatamente tomó, representado es esto
encontrar la manera, el inverso y multiplicado, no tiene
llevado mucho tiempo.
Y os animo a hacerlo como un ejercicio.
De todos modos, nos vemos en el siguiente video.
Y en el siguiente video, vamos a hacer esto mismo exacto
problema, pero nosotros vamos a ver que representan estos datos
un problema diferente.
Ver