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X
Hagamos un poco más ejemplos límite.
Así que vamos a otro problema.
Si yo tuviera el límite cuando x se aproxima a 3 de, digamos,
x al cuadrado menos 6 veces más 9 más de 9 x cuadrado menos.
Así que lo primero que me gusta hacer cada vez que veo alguno de estos
problemas de límites es sólo sustituir el número y
ver si puedo conseguir algo que tiene sentido, y
entonces tendríamos que hacer.
Bueno, por lo general nos puede hacer.
No quiero hacer estas afirmaciones radicales.
Si la función es continua, nos gustaría hacer.
Pero si ponemos los 3 en el numerador, obtenemos 3 al cuadrado,
que es de 9, menos 18 y 9.
Por lo que es igual a 0.
Y el denominador también - vamos a ver, 3 menos cuadrado
9, que también es igual a 0.
Así que no les gusta tener 0 / 0.
Mi herramienta de la pluma no funciona correctamente de nuevo.
Así que no nos gusta recibir 0, 0, 0, por lo que no es todo lo que podamos
simplificar esta expresión para tal vez llegar a una expresión
que, cuando la evaluamos en x es igual a 3, que en realidad se
algo que tiene sentido?
Bueno, cada vez que veo a dos de estos polinomios aquí, y
su aspecto, sólo mediante la inspección de ellas, relativamente fácil de
factor, me gusta el factor porque tal vez no es la
mismo factor en el numerador y el denominador, y
entonces podemos simplificar.
Así que vamos a decir que esto es lo mismo que - que se ve
como es x + 3 - no, no, no, x menos 3.
Esto es x menos 3.
En realidad, parece que es menos x cuadrado 3, pero es que
sólo va a escribir x menos 3 veces x menos 3, que es, por
Por supuesto, menos cuadrado x 3.
Y luego en el denominador, ya sabes cómo estos factores,
esto es x más 3 veces x menos 3, ¿de acuerdo?
Por lo que el límite cuando x se aproxima a 3 de esta expresión es la misma
algo así como el límite cuando x se aproxima a 3 de
esta expresión.
Y, por supuesto, no hay nada que podamos hacer para cambiar el hecho de
que esta función o una expresión de esto, no está definido
en x es igual a 3.
Pero si podemos simplificar, podemos calcular
lo que se acerca.
Pues bien, si suponemos que x es un número, sino tres, que pueden cruzar
estos dos términos, porque entonces no sería 0, ¿no?
Sólo es 0 cuando x es igual a 3, ya que - por lo que en el numerador
y el denominador, se puede cruzar el cabo.
Y podemos decir - y no estoy siendo muy rigurosos aquí, pero
esto es una especie de cómo se enseña, y creo que conseguir la
intuición - que es lo mismo que el límite cuando x
se aproxima a 3 de x menos 3 por x + 3.
Ahora vamos a tratar de pegar la x en y ver lo que tenemos.
Pues bien, en el numerador, obtenemos 3 menos 3.
Todavía nos 0.
Pero aquí en el denominador, obtenemos 6, ¿verdad?
3 más 3 es 6.
Así que ahora tenemos un buen número.
0 o 6, bueno, eso es un número real, por lo que es 0.
0 / 6 es 0.
Así que fue interesante.
La primera vez que lo hicimos, tenemos la respuesta 0 / 0.
Y ahora tenemos la respuesta mediante la simplificación de 0.
Pero, por supuesto, es muy importante recordar que
esta expresión no está definida en x es igual a 3.
Se define por todas partes, pero, pero si tuviéramos que gráfica, y
Os animo a hacerlo, verá que a medida que se
más cerca de x es igual a 3, el valor de este
expresión será igual a 0.
Y sé lo que estás pensando.
Bueno, esto era 0 / 0.
Es cada vez que tengo 0 / 0 va a terminar convirtiéndose en 0 cuando sólo
I evaluar la expresión?
Bueno, vamos a explorar.
Permítanme aclarar esto.
Digamos que lo que es - la pluma no funciona - el límite cuando x
se aproxima a 1 de x cuadrado x 2 menos por menos.
No, digamos x cuadrado x ± 2.
Como puedes ver, yo hago todo esto en mi cabeza, y
Soy propenso a errores.
Y todo eso por x menos 1.
Bueno, una vez más, si sólo se evalúan, vamos a ver qué
ocurre cuando x es igual a 1.
Usted obtiene un cuadrado más 1, por lo que es 2 menos 2.
Se obtiene 0 / 0.
Una vez más, tenemos 0 / 0, y tenemos que hacer algo para
esto tal vez de simplificarlo.
Bueno, vamos a factor de la parte superior.
Así que eso es lo mismo que el límite cuando x se aproxima a 1.
Bueno, eso es x menos 1 vez x + 2, ¿verdad?
Y creo que a menudo descubrirá cuando vea una gran cantidad de
limitar los problemas que, aunque este factor superior, si esta arriba
expresión, es difícil de factores, es probable que, una de las cosas
en el denominador que están haciendo esta expresión
undefined es probablemente un factor aquí.
Así que a veces puede ser que consiga algo más complejo que no se
tan fácil como factor de esto, pero un buen punto de partida es
Supongo que uno de los factores va a ser en el fondo
expresión, ya que es una especie de truco de estos problemas,
a sólo simplificar la expresión.
Una vez más, si se supone que x no es igual a 1, y
esta expresión no sería 0 y esto no sería 0,
entonces estos dos podría ser cancelado.
Y tenemos que esto es sólo lo mismo que el límite
x se aproxima a 1 de x + 2.
Bueno, ahora esto es bastante fácil.
¿Cuál es el límite cuando x se aproxima a 1 de x + 2?
Bueno, usted acaba de pegar uno de allí, y te dan 3.
Así que es interesante.
Cuando sólo trató de evaluar la expresión en
x es igual a 1, tenemos 0 / 0.
Y en el ejemplo anterior, vimos que evalúa cuando
que se simplifica a 0, y en este ejemplo, se llegó a tres.
Y realmente os animo, si usted tiene una calculadora gráfica,
gráfico de estas funciones que estamos haciendo y ver y mostrar
mejor visualmente que es verdad, que el límite a medida que
enfoque, por ejemplo, x es igual a 1 en realidad se aproxima a la
límites que fueron resolviendo.
Y forman sus propios problemas.
El infierno, eso es lo que estoy haciendo.
Por lo que podría probarse a sí mismo.
Así que vamos a hacer otro.
Vamos a hacer una que creo que es bastante interesante.
Digamos que lo que es el límite cuando x tiende a infinito?
El límite cuando x tiende a infinito de, digamos, x
cuadrado más 3 x más a la tercera.
Así que mi forma de pensar acerca de estos problemas cuando se acercan
infinito, sólo pensar en lo que pasa cuando te
valores muy, muy, muy grandes de x.
Y una especie de trampa manera de hacer esto es, si usted tiene un
calculadora, incluso si usted no tiene una calculadora,
en gran número aquí.
Vea lo que sucede cuando x es un millón, a ver qué pasa cuando
x es de mil millones, lo que ocurre cuando x es un billón,
y creo que va a obtener el punto.
Usted verá lo que - si hay un límite aquí, usted
ver lo que va a.
Pero la forma en que pienso en ello es, en el numerador, el tipo de
el término de más rápido crecimiento-en este caso es el término x al cuadrado, ¿verdad?
Este es el término más rápido crecimiento aquí.
En el denominador, ¿cuál es el plazo de más rápido crecimiento?
Pues bien, en el denominador, el término de más rápido crecimiento
Es esta x para el tercero.
Bueno, lo que va a crecer más rápido, a la x
tercera o X al cuadrado?
Bueno, sí, x a la tercera va a crecer mucho
más rápido que el cuadrado de x.
Por lo que este denominador, a medida que más y más grandes y más grandes
los valores de x, va a crecer mucho más rápido que el numerador.
Por lo que te puedas imaginar, si el denominador de crecimiento mucho más,
mucho, mucho más rápido que el numerador, a medida que se hacen más grandes
y un mayor número, que va a obtener una más pequeña y
fracción cada vez más pequeños, ¿no?
Que va a tender a 0.
Y así, a medida que avanza hasta el infinito, se acerca a 0.
Yo sé que tipo de mano sólo saludó con la mano, pero eso es realmente
cómo se piensa en ello.
Otra manera que usted podría hacer es que en realidad podría
dividir esta fracción.
En realidad se podría dividir esta expresión racional, y te
obtener algo así como 1 / x y algo más, algo que,
algo, y entonces también iba a ver, oh, bueno, el límite cuando x
tiende a infinito de 1 / x es 0.
Vamos a hacer una más.
Voy a hacer esto rápido para que yo pueda confundir.
El límite cuando x se aproxima al infinito de más cuadrado 3x
x 4x cuadrado en menos 5.
Este tipo de problemas parecer confuso a veces, pero
son muy fácil.
Sólo tienes que pensar acerca de lo que ocurre a medida que se
valores muy grandes de x.
Bueno, a medida que los valores muy grandes de x, estos términos pequeñas,
estos los que no crecen tan rápido como estos términos grandes,
como que no importa ya, ¿verdad, porque usted está recibiendo
valores muy grandes de x.
Y en este caso, estos no importa más, y luego
estos dos términos x crecer al mismo ritmo, ¿verdad?
Y siempre serán tipo de crecimiento en
esta relación de 3 a 4.
Así que el límite aquí es realmente así de fácil.
Es 3 / 4.
Así que lo que usted es averiguar cuál es el
plazo de más rápido crecimiento en la parte superior, lo que es la de más rápido crecimiento
plazo en el fondo, y luego averiguar lo que se acerca.
Si son el mismo término, entonces que tipo de cancelar, y
usted dice que el límite se aproxima a 3 / 4.
Es una manera muy nonrigorous de hacerlo, pero lo consigue
que la respuesta correcta.
Nos vemos en la siguiente presentación.