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ROGER BOWLEY: El número del que quiero hablar es
la raíz cuadrada de 2.
JAMES GRIME: ¿Mi anécdota favorita sobre la raíz cuadrada de 2?
Tomemos la serie A de medidas de papel,
Esto es una A4.
Es una medida habitual en la mayor parte del mundo.
Tomamos una hoja de papel como esta, y miramos
la proporción entre las longitudes del lado largo y el corto,
es decir, medimos la longitud del lado largo y la dividimos
por la del lado corto, y sale la raíz cuadrada de 2.
Escogieron esto a propósito.
ROGER BOWLEY: La raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 1,41
más o menos.
Y es el número que se obtiene si utilizas el Teorema de
Pitágoras, que decía que si tienes una longitud 1 por ahí,
y una longitud 1 por aquí,
entonces el cuadrado de esa longitud mas el cuadrado de
esa otra es esto.
Esta longitud es la raíz de 2. Es la raíz cuadrada de 2.
JAMES GRIME: Si doblo la hoja por la mitad
--déjame que lo haga--
Esta medida se llama A5.
Habíamos empezado con un A4
y esto ahora es un A5.
Y si haces lo mismo otra vez, tomas el lado más largo
y lo divides por el lado más corto, saldrá otra vez
la raíz cuadrada de 2.
La proporción es la misma.
Al diseñarlo así, puedes escalar las cosas hacia arriba
y hacia abajo, sin que queden desproporcionadas.
ROGER BOWLEY: La raíz cuadrada de 2 es esto, y vale 1,41...
bueno, sigue así siempre.
No se detiene en ningún punto en particular.
Hay todo un conjunto de este tipo de números.
Este es sólo uno de un montón.
Otro es Pi.
JAMES GRIME: De hecho, se empieza por A0.
Un A0 se define como una hoja de papel que tiene una proporción
raíz cuadrada de 2, y un área de un metro cuadrado.
La raíz cuadrada de 2 es la única proporción para la que ocurre esto.
Y voy a mostrar que es la única
proporción que funciona.
Aquí lo tienes:
Si este es nuestro rectángulo de papel,
este es el lado largo, que vamos a llamar a, y este
es su lado corto, que llamamos b.
Ahora considero el lado más largo a, y lo divido por el lado
corto, b, obteniendo la proporción.
Esta va a ser la raíz cuadrada de 2, pero vamos a suponer que no lo
sabemos todavía.
Es lo que queremos comprobar.
Si lo parto por la mitad, ahora éste es el lado largo.
Así que ahora b es el lado largo.
Y el lado corto es realmente la mitad de a. Este
borde: la mitad de a.
Quiero que haya la misma proporción que teníamos antes.
Dicho de otra forma, quiero que estas dos cosas sean iguales.
Así que lo que tengo que hacer es reordenar esto;
jugamos un poco con ello.
Y veamos lo que sale:
OK.
Pasamos b a este lado, y a a este otro lado.
Operando, obtienes un cuadrado en el lado izquierdo, y
2 b cuadrado en el lado derecho.
En otras palabras, a al cuadrado divido entre b al cuadrado igual a 2.
Hacemos la raíz cuadrada, en los dos lados,
y te quedará a divido entre b a la izquierda.
y a la derecha te queda la raíz cuadrada de 2.
¡Esta es la proporción que estábamos buscando!
La única proporción que funciona es la raíz cuadrada de 2.
JAMES GRIME: Este es el Teorema de Pitágoras.
Los Pitagóricos eran una secta, mucho tiempo atrás.
Y pudo haber una figura llamada Pitágoras
asociada con ella.
Pero era un grupo muy extraño.
Creían en este teorema.
Y creían en la armonía de los números naturales.
Por ejemplo, si quieres hacer música, tomas un trozo de cuerda
con cierta tensión
Si tomas la mitad de su longitud,
obtienes una nota armoniosa con ella.
Pensaban que toda la naturaleza estaba compuesta por números.
Pensaban que todas las cosas se podían expresar por un número entero
o por una relación entre enteros.
Este era el núcleo fundamental de su creencia.
JAMES GRIME: ¿Qué era lo que sabían?
Conocían los números uno, dos, tres, cuatro, cinco...
y habían trabajado con las fracciones,
que se usan para dividir dos enteros, 3/5, 1/2; ese tipo de cosas.
ROGER BOWLEY: También tenían otras creencias.
No te podías casar con una mujer que llevara joyas de oro,
por ejemplo.
O que debías ser vegetariano.
No debías comer habas.
Y no debías orinar hacia el sol.
Había un discípulo de esta extraña secta llamado Hipaso.
que descubrió que si creían en el
Teorema de Pitágoras, entonces podían hacer matemáticamente
una demostración de que este número
no era una proporción entre dos números enteros.
JAMES GRIME: Pero un número que no podía escribirse como
una fracción era un concepto nuevo, que quedó para siempre.
Eso es un número irracional.
ROGER BOWLEY: Y les disgustó muchísimo
No puedo decirte lo mucho que les disgustó.
Así que se lo llevaron hasta el mar, según la leyenda,
y nunca volvió.
Quizá le ahogaron, o le
dejaron en una isla desierta.
Nunca se le volvió a ver.
JAMES GRIME: Lo hicieron, aparentemente--
eliminaron esta información.
No estaban seguros de que fuera real.
ROGER BOWLEY: Ahora los llamamos números irracionales
porque no encajan con el punto de vista pitagórico.
JAMES GRIME: Es el mismo tipo de problema que
tenemos hoy en día.
La gente me dice: "¡he oído hablar de los números complejos!"
"¡he oído algo sobre eso!"
"No creo que existan"
Y no lo entiendo.
Es el mismo problema: sí existen.
Sólo tienes que acostumbrarte a ellos
ROGER BOWLEY: Así que fue una de las primeras personas
perseguidas por demostrar a la gente que
sus ideas anteriores estaban equivocadas.
Esto ha ocurrido muchas veces a lo largo de la historia.
Podría hablarte de los físicos que lo han sufrido
como Bruno Giordano, que fue quemado
en la hoguera por decir que el universo era infinito.
La Iglesia Católica dijo que eso no dejaba ningún
lugar para Dios.
JAMES GRIME: Vamos a demostrar que la raíz de 2 es
irracional.
No puede ser escrito como una fracción.
La forma en que lo demostramos es una técnica
matemática muy potente llamada contradicción.
Vamos a suponer lo contrario.
Vamos a suponer que se puede escribir como una fracción.
Suponemos que lo podemos escribir como a dividido entre b.
Y estos a y b son especiales.
Son enteros.
Son números enteros.
Son uno, dos, tres, cuatro, cinco...
Algo como esto.
Y están en la forma más reducida posible.
Es decir, no incluimos fracciones como 2 dividido por 4 porque
eso es un medio.
2/4 no sería la forma más reducida.
De acuerdo.
Veamos lo que podemos hacer.
ROGER BOWLEY: Si das con una idea que es correcta
pero va contra la opinión convencional, puedes acabar en
una isla desierta, o quemado en una hoguera, ejecutado.
Porque a la gente no le gusta que sus ideas sobre el mundo
sean alteradas.
Incluso si puedes probar lo contrario, no es una buena idea
orinar contra el sol.
JAMES GRIME: Voy a elevar al cuadrado los dos lados
Así que en el lado izquierdo tengo un 2.
En el lado derecho tengo a al cuadrado
dividido entre b al cuadrado.
Recuerda que a y b son números enteros.
Vamos a operar con esto.
Tenemos 2b al cuadrado a la izquierda, igual a a al cuadrado a la derecha.
Con esto he mostrado que a al cuadrado
es un número par.
porque es múltiplo de 2. Es un número par.
Y puedes comprobar que si a al cuadrado es par,
a también es par.
Bueno, si fueran dos números impares, el producto sería también
un número impar.
Así que si, si, si a al cuadrado es par, el número original a
también era par.
Así que a es par.
De acuerdo.
a es par.
Podemos ponerlo de otra forma, podemos poner a
igual a 2 veces c.
¿Qué tenemos ahora?
2b al cuadrado a la izquierda es 2 veces c, porque es
par, al cuadrado.
Esto es igual a 4 c al cuadrado.
En otras palabras, estoy diciendo que b al cuadrado
es igual a 2 c al cuadrado.
¿Lo ves?
b al cuadrado es par.
Si b al cuadrado es par, como antes, b es par.
Lo que hemos visto es que a es par y b también es par.
Esto es un problema.
No pueden ser los dos pares.
Como en el ejemplo de antes de 2 entre 4, no estaría en la forma
más reducida posible si ambos son pares.
así que esto es una fracción imposible.
No existe.
No puedes escribir la raíz de 2 como una fracción así.