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Quiero traer todo lo que hemos aprendido de independencia.
.y dependencia linear, y del lapso de un conjunto de
.vectores unidos en un problema particularmente dificil
.Porque, si tu entiendes de que se trata todo este problema
.yo pienso que entiendes que estamos haciendo, cual es la llave para
.Tu entendimiento de álgebra linear, estos dos conceptos
.Así que la primera pregunta que voy a preguntar sobre el conjunto de
.vectores S, y todos ellos son vectores tridimensionales,
.Ellos tienen tres componentes, es el lapso/espacio igual a R3?
.Parece como que puede que así sea
.Si cada uno agrega nueva información, luce como
.quizas yo pueda describir cualquier vector R3 por estos 3
.vectores, por una combinación de estos 3 vectores
.y la segunda pregunta, voy a preguntar si son
.linearmente independientes?
.y quizás seré capaz de respóndeles al mismo tiempo
.así que vamos a responder la primera
.ellos pueden expandir R3?
.Para expandir R3, que significa alguna combinación linear de estos
.3 vectores debería ser capaz de construir cualquier vector en R3
.así que dejenme darles una combinación linear de estos vectores
.Yo podría tener c1 por el primer vector, 1, menos 1,2
.más otra constante arbitraria c2, algo escalar,
.veces el segundo vector 2,1,2 mas el tercer vector escalado
..por el tercer vector menos 1,0,2
.y debería ser capaz de , usar constantes arbitrarias, toma
.una combinación de estos vectores que resumen en
.cualquier vector en R3
.Y voy a representarlo en cualquier vector en R3 mediante el vector a,
.b, y c. donde a,b y c, son cualquier numero real
.así que , si tu me das cualquier a,b y c, y yo puedo darte una
.formula para decirte cual son tus c3s, c2 y tus
.c1a, después eso esencialmente significa que eso
.expande R3, porque si tu me das un vector, yo puedo decirte siempre
.como construir un vector con estos 3
.así que veamos como podemos hacer eso
.Solo por la definicion de la multiplicacion escalar de un
.vector, nosotros conocemos que c1 por este vector, podría escribirse
.si yo quiero
.yo normalmente me salto ese paso, pero realmente
.quiero hacerlo claro
.asì que c1 por, podría solo reescribirse como 1 por c, y así
.por cada uno de los términos por c1
.similarmente, c2 por el la misma cosa que cada uno de
.los términos por c2
.y c3 por la misma cosa que cada uno de
.los términos por c3
.quiero mostrarles que todo lo que hicimos
.formalmente viene de nuestra definicion de multiplicacion
.de un vector por un escalar, que es lo que acabamos de hacer o
.la adicion del vector, que es lo que vamos a hacer
.asi que la adicion del vector nos dice que este termino más este termino
.mas este termino necesita igualar ese termino
.asi que dejenme escribirlo
.Conseguimos c1 más 2 c 2 menos c3 será igual a a
.Asimismo, podemos hacer lo mismo con la siguiente fila.
.Menos c1 más c2 c 0 c3 debe ser igual a b.
.Así obtenemos menos c1 más c2 mñás c 0 3--por lo que ni siquiera
.tienen que escribir--va a ser igual a b.
.Y, a continuación, finalmente, vamos a hacer esa última fila.
..2 c 1 mñás 3c2 más 2c3 va a ser igual a c.
.Ahora, vamos a ver si lo podemos resolver nuestras constantes diferentes
.Voy a hacerlo por eliminación.
.Creo que deberían estar familiarizados con este proceso.
.Creo que lo he hecho en alguno de los videos anteriores de álgebra linear
.antes de empezar a hacer una presentación formal de la misma.
.Y voy a revisar de nuevo en unos videos de
.Ahora, pero creo que usted entiende cómo
.resolver de esta manera.
.lo qué voy a hacer es que voy a eliminar primero estos
..dos términos y, a continuación, voy a eliminar este término, y
.entonces puedo resolver para mis diferentes constantes.
.Si quiero eliminar este término aquí, lo que podría
.hacer en es añadir esta ecuación a esta ecuación.
.O mejor aún, puedo reemplazar esta ecuación con la suma de
..Estas dos ecuaciones.
.déjame hacer eso.
.Sólo voy a añadir estas dos ecuaciones entre sí
.y reemplazar esta con esa suma.
..así que, menos c1 más c1, que sólo te da 0.
.Puedo ignorarlo.
.Luego c2 más 2 c 2, que es de 3 c 2.
.
..Y, a continuación, 0 más menos c3 es igual a menos c3
.Menos c3 es igual a--y esto sustituyo con la suma de
.estos dos, así que b más a
.Es igual a b más a
.permiteme escribir esa primera ecuación en la parte superior.
.Así que en la primera ecuación, no estoy haciendo nada
..Para obtener c1 más 2 c 2 menos c3 es igual a a
.Ahora, en esta última ecuación, quiero eliminar este término.
.Tomemos esta ecuación y restar de ella, 2 veces esto
.ecuación superior.
.
..También se puede ver como: vamos a añadir esto a menos 2 veces esto
.ecuación superior.
.desde que ya casi hemos terminado usando esto cuando realmente
..lo escribimos, vamos a multiplicar esto por menos 2
.Para que esto se convierta en a menos 2 c 1 menos 4c2 más 2 c 3 es
.igual al menos 2a.
.Si simplemente multiplicar cada uno de estos términos-quiero ser
.muy cuidadoso
..No quiero cometer un error por descuido.
.Menos2 veces c1 menos 4 más 2 y, a continuación, menos 2.
.Y ahora podemos añadir estos dos juntos.
.¿Y lo que obtenemos?
..2 c 1 menos 2 c 1, que es un 0.
.No tengo que escribirlo.
.3 c 2 menos 4 c 2, que es un menos c2.
.
.Y luego tienes tu c 2 3 más otro c 2 3, por lo que es
.igual a más 4 c 3 es igual a c menos 2a.
..Todo lo que hice es esto reemplacé con esto menos 2 veces que,
.y tengo esto.
.
.Ahora voy a mantener mi ecuación superior constante nuevamente.
.No voy a hacer nada, así que sólo voy a
.moverlo hacia la derecha.
..Para obtener c1 más 2 c 2 menos c3 es igual a a
.También voy a mantener mi segunda ecuación el igual, así que voy
.a tener 3 c 2 menos c3 es igual a b más a
.Permítanme desplazarse
..Y, a continuación, esta última ecuación desea eliminar.
.Mi objetivo es eliminar este término aquí.
.Lo que quiero hacer es que quiero multiplicar esta ecuación inferior
por 3 y agregarlo a esta ecuación en el medio para eliminar
.Este termino en la derecha, aquí.
.si yo multiplico esta ecuación en el final por 3, déjame solo
..hacer--bueno, en realidad, no quiero hacer un desastre con las cosas
.para que esto se convierte en un signo menos 3 más un 3, así los cancelan.
.Esto se convierte en un 12 menos un 1.
.Así se convierte en 12 c 3 menos c3, que es de 11 c 3.
.Y entonces se convierte en un - oh, lo siento, estaba ya hecho.
.Cuando hago 3 veces este más ese , esos se cancelan
.Y luego cuando multiplico 3 veces esto, obtengo 12 c 3 menos a
.C3, por lo es 11 c 3.
.Y yo multiplique esto por 3 más esto, por lo que conseguir 3 c menos
.6A--yo estoy apenas multiplicar esto veces 3--más
.Este, más b más a
..¿como puedo reescribir esto?
.En realidad, quiero dejar algo muy claro.
.Este c es diferente a estos de c1, de c2 y de c3
.que tenía aquí.
.Creo que te diste cuenta que
.Pero acabo de darme cuenta que he utilizado dos veces, la letras c y
.Simplemente no quería cualquier confusión aquí.
.Así que este c que no tiene ningún subíndice es diferente
.constante y todas estas cosas aquí.
.Vamos a ver si podemos simplificar esto.
.Tenemos un un y a menos 6a, así que vamos a simplemente agregarlos.
.Así que vamos a deshacernos de los que una y esto se vuelve menos 5a.
.Si dividimos ambos lados de esta ecuación por
.11, ¿qué obtenemos?
.Conseguimos c3 es igual a 1/11 veces3c menos 5a.
.Así que usted darme alguna a o c y me voy ya
.decirle qué C3.
.¿Qué es c2?
.C2 es igual a--permítanme simplificar esto
.ecuación aquí.
.Permítanme hacerlo allí.
.Así que si sólo añade c3 a ambos lados de la ecuación, obtengo
.3 c 2 es igual a b más un plus c3.
.Y si divido a ambos lados de este por 3, conseguir c2 es igual
.a 1/3 veces b más a mas c3.
.Sólo dejaré lo que por ahora.
.Entonces ¿qué es c1 igual?
.Yo sólo podía reescribir esta ecuación superior como si Resté 2 c 2
.y añadir c3 a ambos lados, y obtener que c1 es igual a a
.menos 2 c 2 más c3.
.¿Qué es lo que recientemente te mostré?
.
.Me puedes dar cualquier vector en R3 que desees encontrar.
.Así que usted puede darme cualquier número real para a, cualquier número real
.para b, cualquier número real para c.
.Y si me dan los números, yo estoy diciendo ahora que
.Siempre puedo decirle alguna combinación de estos tres
.vectores que se sumarán a esos
..Y ya he resuelto por lo que tengo que
.multiplicar cada uno de los vectores por agregar
.a este tercer vector.
.Por lo que si me das tus as , bs y cs solo tengo que
.sustituir en la as y las cs justo aquí.
.Oh, lo siento.
.Se me olvidaba este b aquí.
.También hay a b.
..Es sospechoso que no tener que lidiar con una b.
.Así que hubo un b allí.
.Esto es 3 c menos 5a más b.
.Permítanme escribir.
.Hay un b allí en un paréntesis.
.Pero creo que usted consigue la idea general.
..Me das tuss a, bs y las cs, cualquier
.numero real puede aplicar
.No existe una división aquí, asi que no tengo nada de que preocuparme
.dividir por cero.
.Esto es sólo una combinación lineal de cualquier real
.números, por lo que claramente puedo conseguir otro número real.
.Por lo que me das tu as, bs y cs, me voy
.para darle un c3.
.Ahora, que me diste as, bs y cs
.Tengo un c3.
.Esto es sólo va a ser otro número real.
.Sólo voy a tomar esto con tus as y bs formadas
.y voy a poder darle un c2.
.Ya hemos podido resolver para un c2 y un c3 y entonces
.sólo use su a y luego me voy
..para darle un c1.
.
.Esperemos que estás viendo que no importa lo que a, b y c
.me da, puedo darle un c1, c2 y c3.
.No es necesario que cualquier a, b o segunda deben romper
.estas fórmulas.
.No estamos haciendo ninguna división, por lo que es, no como un cero
..Break it down.
.Puedo decir definitivamente el conjunto de vectores, de estos
.tres vectores, de hecho abarcan R3.
.Permítame hacerle otra pregunta.
.Ya lo pregunté
.¿Estos vectores son linealmente independientes?
.
..Hemos dicho en orden para que sean linealmente independientes, la
.sólo solución c1 veces mi primer vector, 1, menos 1, 2,
.Además c2 veces mi segundo vector, c3, 1, 3 y 2 veces
.mi tercer vector, menos 1, 0, 2.
.Quiere decir si algo es linealmente independiente
..la única solución a esta ecuación, así que quiero encontrar
.un conjunto de combinaciones de estos vectores que añadien hasta
.el vector cero y lo hice en el video anterior.
.Si son linealmente dependientes, debe haber algunos
.solución de cero.
.Una de estas constantes, por lo menos una de estas constantes,
.sería distinto de cero para esta solución.
.Siempre puedes hacer que cero, no importa qué, pero si
.son linealmente dependientes, entonces uno de
.Estos pueden ser distintos de cero.
.Si son linealmente independiente entonces todos estos
..tiene que ser--la única solución a esta ecuación
.sería c1, c2, c3.
.Todo tiene que ser igual a 0. C1, c2, c3, todos tienen
.ser igual a 0.
..Independencia lineal, implica esto implica lineal
.independencia.
.Ahora, esto es exactamente lo mismo que hicimos aquí, pero en este
.caso, sólo estoy recogiendo mi a, b y la segunda a cero.
.¿Se trata de a, esto es b y c, correcto?
.¿Puedo escoger cualquier vector en R3 para mi a, b y c
.Yo ahora estoy recogiendo el vector cero.
..Así que vamos a ver son nuestro c1, de c2 y de c3.
.Para mi es igual a b es igual a c es igual a 0.
.Yo los ajuste igual al vector cero.
..¿Qué combinación lineal de estos tres vectores igualan al
.¿vector cero?
.Bueno, si a, b, y c son todos iguales a 0, ese término es 0,
..es 0, que es 0.
..Tienes 0 1/11 veces menos 0 más 0.
.Eso sólo 0.
.C3 es igual a 0.
.Ahora, si c3 es igual a 0, ya sabemos que una es igual
.a 0 y b es iguales a 0.
.C2 es 1/3 veces 0, por lo que es igual a 0.
..Ahora, ¿qué es c1?
.Bien, es c3, que es 0.
.C2 es 0, entonces 2 veces 0 es 0.
.Así que c1 sólo va a ser igual a una.
.Acaba de decir un es igual a 0.
.Así que la única solución a esta ecuación right here, la única
..combinación lineal de estos tres vectores que resultan en
.el vector cero son cuando usted peso todos ellos por cero.
.Así que os sólo mostraba c1, c2 y c3, todos tienen que ser cero.
.Y porque son cero, sabemos que esto es un
.conjunto linealmente independiente de vectores.
.O que ninguno de estos vectores se pueden representar como un
.combinación de los otros dos.
.
.Esto es interesante.
.Tengo exactamente tres vectores que abarcan R3 y son
.linealmente independientes.
.Y linealmente independientes, en mi cerebro es decir, mira, yo
.no tiene ningún vectores redundantes, algo que podría
.sólo se han construido con los otros vectores, y tengo
.exactamente tres vectores y es que abarca R3.
.En general y no han probado esto a usted, pero
.podría, es que si usted tiene exactamente tres vectores y
..span R3, tienen que ser linealmente independientes.
.Si no fuesen linealmente independientes y, a continuación, uno de ellos
.sería redundante.
.Digamos que ese hombre era redundante.
.Siempre escojo a un tercero, pero vamos a decir que este chico
.ser redundantes, lo que significa que la duración de esto sería
.¿igual a la duración de estos dos, derecho?
.Porque si este chico es redundante, sólo podía ser
.parte de la duración de estos dos chicos.
.Y el lapso de dos de los vectores nunca podría abarcar R3.
..O la otra manera que se podría ir, si tienes tres lineal
.independiente--tres tuplas y están todo independiente,
.a continuación, se puede decir también que abarca R3.
.Yo no he comprobado que a usted, pero espero que te la
.sentido que cada uno de ellos contribuye nuevo
..¿direccionalidad, correcto?
.Uno va así.
.No son totalmente ortogonales entre sí, pero
.está dando suficiente direccionalidad que usted puede
.Añadir una nueva dimensión a lo que está pasando en.
.Ojala, que le ayudó un poco, y nos vemos en la
.vídeo siguiente.