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Vamos a ver ahora lo que son las funciones de varias variables reales,
cuando una función depende de varias variables
independientes. Llamamos función real de n variables reales a toda aplicación
que vaya de un subconjunto de los vectores de n dimensiones,
de los vectores de rn a
r, es decir,
una función que le asigna a cada vector
de n dimensiones
un número real.
Formalmente pues lo representamos así, decimos que la función f es una función de
varias variables de n variables reales,
si está definida sobre un subconjunto de los números reales sobre subconjunto
elementos d que es un subconjunto, es lo mismo
que los vectores de n dimensiones y les asigna un número real,
es decir, lo que hace la función
es coger
vectores de n componentes y asignarles un número real.
Definimos el dominio de f
como aquellos vectores, aquellos x que
pertenecen a los
vectores de n componentes
para los cuales
exista
la imagen de tal forma
que la imagen de ese vector sea un número real, es decir, cuando la
expresión esté bien definida.
El dominio de f, por tanto, serán los x
pertenecientes a los números,
a los vectores de n componentes tales que para esos x
para esos x existe
la función, existe una y que será igual al valor de la función y esa y sea un
número real.
Bueno un ejemplo de función de varias variables
es la función de producción de la empresa, a partir de
la cual, combinando factores productivos, conseguimos
unidades de producto. La función de producción de la empresa nos indica que las
unidades de producto que es capaz de producir una empresa dependen de
las unidades de factor capital y factor trabajo
que posea la empresa. Para cada cantidad positiva de capital y de trabajo tendremos
un nivel de producción. Por tanto, para el caso de la función de
producción tenemos que el dominio de la función de producción, aunque podría
estar definida de forma genérica pero nosotros exigimos que ese dominio de la
función de producción
esté formada
por números reales positivos y
incluyendo al 0,
es decir, cuando la k sea positivo 0 y la l sea positiva 0, porque es
lo único que tiene sentido. Sólo tiene sentido que el capital
y el trabajo sean positivos, no que sean negativos.
Y entonces decimos que esa función coge y a valores de la x, a elementos x,
que serán vectores de R2, una cantidad de capital
y una cantidad de trabajo, les asigna
un número real que será la cantidad de producto.
Bueno, para ver el dominio de una función de varias variables pues, por
ejemplo, podemos fijarnos
en la función que tenéis aquí definida.
Una función que sea (símbolo)
Los
logaritmos, como habíamos dicho, los
logaritmos no están definidos
cuando lo que dentro del logaritmo
es negativo o 0.
Bueno, ¿cuál será entonces el dominio de esta función? ¿Cuándo va a existir esta
función? Pues el valor de esa función va a existir
para todos aquellos vectores x y
para los cuales tengamos que (símbolo) sea
estrictamente mayor que 0 y esto sólo ocurre cuando (símbolo)
sea mayor que 0. Por tanto, el valor absoluto de la x tiene que ser
mayor que el valor absoluto de la y. Esto quiere decir que esta función
sólo va a estar definida para que aquellos vectores x y
para los cuales el valor absoluto de la x sea mayor que el de la y, y ese va a
ser su dominio, decimos entonces que el dominio de esta función son los vectores x
y para los cuales el valor absoluto de la x es mayor que el valor absoluto
de la y.
Una función que vamos a utilizar,
una
función que nos va a resultar muy útil cuando una función de
varias variables, de los vectores de varias variables va a ser la función
proyección, la proyección i-ésima. La proyección i-ésima
es una función
que a lo que asigna,
que asigna a cada vector de n dimensiones
su componente i-ésima,
la proyección uno pues lo que hace es asignarle
a ese vector de n componentes su primera componente, la proyección cuatro pues lo
que hace es asignarle a un vector de n componentes su componente número 4.
Definimos, por tanto, la proyección i-ésima como una función que va de los
números,
de los vectores de n dimensiones a los números reales y lo que hace es
asignarle
a cada vector
de n dimensiones, formado por esas n componentes, pues su componente i-ésima.
Y a eso le llamamos pues la proyección
i-ésima de dicho vector.