Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Veamos que podemos aprender respecto a expansión
en fracciones parciales, o también llamada descomposición
en fracciones parciales.
.
La idea principal es tomar las funciones racionales, y sabemos
que una función racional; una función o expresión en donde
es una expresión dividida por otra-- y para escencialmente
expandirlos o descomponerlos en partes más simples.
Y lo primero que debes hacer, antes de que siquiera
puedas comenzar el proceso de la expansión en la fracción parcial
es asegurate de que el numerador sea de menor grado
que el del denominador.
En este situación, el problema que he dibujado aquí
Que he escrito aquí, no es el caso.
El numerador tiene el mismo grado que el denominador.
Entonces, el primer paso que debemos hacer es simplificar y
para llegar al punto donde el numerador sea de menor grado
que el denominador se debe hacer un poco de
división algebraica.
Y he grabado un video respecto a esto, pero no esta de más
hacer una revisión aquí, para hacer esto, dividimos el denominador entre
el numerador para averiguar el resto, entonces dividimos la x
al cuadrado menos 3x menos 40 entre x cuadrada menos 2x menos 37.
Entonces, ¿cuántas veces?
Tomamos el término de mayor grado, entonces x al cuadrado es divisible solamente
una vez sobre x al cuadrado, uno por todo esto es x al cuadrado
menos 3x menos 40, y ahora vamos a restar esto de esto
para obtener el restante.
Veamos, si estoy restando, vamos a restar, y entonces
menos por menos es más, más, y entonces podremos hacer la suma.
Estos se cancelan.
Menos 2x más 3x, eso nos da x.
Menos 37 más 40, eso nos da más 3.
Así que esta expresión aquí arriba puede ser reescrita así, déjame desplázarme
hacia abajo un poco, como 1 más x más 3 sobre x al cuadrado
menos 3x menos 40.
Lo que acabo de hacer puede parecer como algún tipo de magía, pero
eso no es diferente a lo que hiciste en cuarto o quinto año,
en donde aprendiste como convertir de fracciones impropias a regulares
a números mixtos.
Haré un ejemplo rápidamente aquí al lado.
Si tengo 13 sobre 2, y quiero convertirlo a un número mixto,
que hacemos? Es probable que ya puedas hacer esto en tu cabeza, pero
lo que hiciste es, divides el denominador entre el numerador,
justo como lo hicimos aquí.
2 es divisible entre 13.
Vemos aquí que 2 es divisible entre 13 seis veces, 6 por 2 es 12, y a eso le
restas eso de esto, el restante es 1.
2 no es divisible entre 1, ese es solo el restante.
Entonces, si deseamos escribir esto de nuevo, será el numero de veces
que el denominador que es divisible entre el numerador, que sería 6, más
el restante entre el denominador.
Más 6 más 1 entre 2.
Y cuando hiciste esto en primaria, solamente lo escribias
como 6 1/2, pero 6 1/2 es lo mismo que 6 más 1/2.
Eso es exactamente lo mismo que acabamos de hacer aquí.
El denominador fue divisible entre el numerador una vez, por lo tanto
tenemos el restante de x más 3 de sobra, y es 1 más x
más 3 entre esta expresión.
Ahora vemos que el numerador esta en la expresión racional
tiene un menor grado que el denominador.
El grado más alto aquí es 1, el grado más alto aquí es 2,
entonces estamos listos para poder comenzar con nuestra decomposición parcial de fracciones.
Todo lo que es, es tomar la expresión de aquí arriba y convertila
entre dos expresiones más simples, en donde los denominadores sean
factores de este menor termino.
Entonces dado eso, vamos a factorizar este termino menor.
Veamos.
Que par de números sumando nos dan menos 3, y cuando multiplicamos
nos den menos 40?
Así que vamos a ver.
Deben de ser de diferente signo, por que cuando
los multiplicamos es de signo negativo, entonces tiene
que ser menos 8 y más 5.
Entonces, podemos escribirlo de nuevo como- acá arriba, Cambiaré de colores-
1 más x más 3 entre x más 5 por x menos 8.
5 por 8 es menos 40-- 5 por 8 negativo es menos 40, más 5
menos 8 es menos 3, entonces ya lo tenemos.
Por ahora solo me voy a enfocar en esta otra parte.
Recordemos que tenemos al 1 ahí
en frente por ahora.
Esta es la expresión que deseamos descomponer o expandir.
Y la vamos a expandir en dos expresiones más simples.
en donde cada uno de estos sea el denominador-- y haré la
afirmación, y si funcionan los números utilizados la afirmación
será verdadera-- Haré la afirmación de que puedo expandir esto, o descomponer
esto, entre dos fracciones en donde la primer fracción es solo algún
numero a entre el primer factor, entre x más 5, más algún otro
número b entre el segundo factor, entre x menos 8.
Esta es mi afirmación, y si puedo resolverlo para a y b de tal manera
que la suma me de esto, entonces ya habré termiando
y habré decompuesto la fracción por completo.
Supongo que es la forma, -- No se si esta sea la
terminología correcta.
Entonces intentemos hacer esto.
Si sumo estos dos terminos, que obtendremos?
Cuando sumas cualquier cosa, debes primero encontrar un común denominador, y
el común denominador, el común denominador mas fácil, es
multiplicar los dos denominadores, entonces dejame escribo esto aquí.
Entonces a entre x más 5 más b entre x menos 8 es igual a--
bueno, obtengamos el común denominador-- es igual a
x más 5 por x menos 8.
Y entonces el término a, haremos-- a entre x más 5 es lo mismo
que a por x menos 8 entre todo esto.
Quiero decir, si solo escribo esto de aquí, solamente entonces
se cancelan estos dos términos y entonces obtenemos a entre x más 5.
Y entonces podrás sumar esto al común denominador, x más
5 por x menos 8, y esto será b por x más 5.
Es importante darse cuenta, de esta forma.
Este término es exactamente lo mismmo que si solamente
cancelas la x menos 8, y este termino es exactamente lo mismo que
el el término si solamente cancelas la x más 5.
Pero ahora que ya tenemos un común denominador, podemos sumarlos
entonces obtenemos -- escribiré la parte izquierda primero
aquí -- a entre x más 5 -- Perdón
Deseo escribir esto acá.
Escribiré x más 3 entre más 5 por x menos 8 es igual a
es igual a la suma de estas dos cosas arriba.
a por x menos 8 más b por x más 5, todo eso entre
su común denominador, x más 5 por x menos ocho.
Entonces los denominadores son los mismos, entonces sabemos que esto,
cuando los sumas, tienes que obtener esto.
Entonces si deseamos resolver para a y b, vamos a
establecer esta igualdad.
Podemos ignorar los denominadores.
Podemos decir entonces que x más 3 es igual a - a por x menos
8 más b por x más 5.
Entonces, hay dos maneras de resolver para a y b a partir
de este punto en delante.
Una de estas es de la forma en que me enseñaron en primero
o segundo de secundaria, el cual puede ser un poco más extenso, entonces
hay una manera rápida de hacerlo y nunca esta de más
hacerlo de la forma rápida.
Si deseas resolver para a, tomemos una x que
hará desaparecer este término.
Entonces, ¿que x haría desaparecer este término?
Bien, si digo que x es menos 5, entonces esto se convierte en 0, y
entonces la b desaparece.
Entonces si decimos que la x es menos 5 -- Estoy eligiendo un valor arbitratio para x para
poder resolver esto -- entonces esto será menos 5
más 3 -- voy a escribirlo aquí, menos 5 más 3 -- es igual a
a por menos 5 menos 8 -- voy a escribirlo aquí,
menos 5 menos 8 -- más b por menos más 5.
Y he elegido el menos 5 para hacer esta expresión 0.
Entonces obtenemos -- elegiré un color más brillante -- menos 5 más
3 es menos 2, estos es igual a -- Cuánto es esto? -- menos 13a
más-- esto es 0, ¿verdad?
Si es 0.
Menos 5 más 5 es 0, 0 por b es 0, y después dividimos ambos
lados entre menos 13, obetenmos -- los negativos se cancelan--
obtenemos 2 entre 13 es igual a - a, y ahora podemos hacer lo mismo
acá arriba y deshacernos de los términos haciendo x igual a 8.
Si x es igual a 8, entonces obtenemos x más 3 es igual a 11, es igual a
a por 0 más b por --- cuánto es 5 -- 8 más 5
es --- entonces es más b por 13.
La b se ve un poco como un 13.
Y obtenemos que 11 es igual a 13b, dividimos ambos lados entre 13,
obtenemos b es igual a 11 entre 13.
Entonces pudimos resolver tanto los valores de a como de b.
Ahora podemos regresar a nuestra ecuación original
y podremos decir, vaya!
Esto solo tiene que ser igual a 2 entre 13, y esto otro
tiene que ser igual a 11 entre 13.
.
Po lo tanto la original, la original que habiamos escrito
aquí, puede ser descompuesta en 1, este es el 1 que tenemos aquí, más
esto, que es 2 entre 13 -- Lo escribiré así por ahora --
2 entre 13, entre x más 5.
Podemos poner el 13 aquí abajo para no tener
la necesidad de tener una fracción entre otra.
Más 11 entre 13 por -- entre x menos 8.
Y de nuevo, podemos tener este 13 aquí abajo
para no tener una fracción sobre otra.
Pero acabamos de exitosamente descomponer esta hermosa--
No quiero decir que necesariamente la hemos simplificado,
por que podrías decir, oh, solo tenemos una expresión aquí,
ahora tengo tres --- pero he reducido el grado de ambos
numeradores y de los denominadores.
Y podrás decir, Sal, ¿Por qué tendría que
hacer esto alguna vez?
Y tienes razón.
En algebra posiblemente no lo hagas.
Pero esto es en realidad una técnica muy útil más adelante
cuando llegues a cálculo, y de echo, ecuaciones
diferenciales, por que varias veces es más fácil-- y
Voy a decir algo aquí que no entenderás por ahora --- para obtener
la integral o la antiderivada de
algo como esto, o algo como esto otro.
Y después, cuando hagas las inversas de las transpuestas de Laplace
y las ecuaciones diferenciales, es mucho más fácil tomar una inversa
de la transpuesta de Laplace de algo como esto
que de como esto otro.
De todos modos, esperemos que te haya dado otra herramienta en tu ---
u otra herramienta en tu estuche de herramientas, y problablemente lo haga
un par de videos más por que no hemos visto todos
los ejemplos que pueden ser utilizados para la descomposición
parcial en fracciones.
.