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MATT PARKER: El 0 es un número perfectamente bueno.
Y si lo ignoras es asunto tuyo.
El problema es que es un número peligroso,
hay algunas cosas que pueden ir muy mal con el 0.
Puesto que tiene algunos matices poco habituales
tienes que ser un poco más cuidadoso con
cómo lo manejas.
Hay algunas cosas que no puedes hacer con él.
Por ejemplo, no puedes dividir algo entre 0.
Y no puedes tener cosas como 0 elevado a 0
Me preguntan por esto muy a menudo .
La gente insiste ¿porqué no puedo dividir por 0?
¡Yo quiero dividir por 0!
¿No es lo mismo que infinito?
Blah, blah, blah.
Así que pensé que podría hacer dos cosas:
Primero voy a mostrarte porqué no; no puedes
dividir por cero
No es lo mismo que infinito.
Es un poco más complicado.
Y después voy a mostrarte también porqué no puedes tener 0
elevado a 0.
JAMES GRIME: Muy bien; eso es algo que hemos preguntado
muchas veces en Numberphile.
Bien, sabes que una multiplicación
es realmente una suma grande.
Si quieres hacer 5 por 10
solo tienes que sumar 5 más 5 más 5 más 5,... 10 veces.
Y la división no es más que una gran sustracción.
Así si quiero tomar un número, 20, y dividirlo entre
entre 4, solo tengo que ir restando 4.
Restas 4, restas 4, restas 4.
Haces eso cinco veces.
Y ese número, 5, es tu respuesta.
20 dividido entre 4 es igual a 5.
Así que es sólo una gran resta.
Eso es realmente lo que es.
Entonces, si divido entre cero, eso significa que estoy restando 0
una y otra vez.
Así que para dividir 20 entre cero, resto 0.
Tengo 20.
Luego resto 0 otra vez.
Todavía tengo 20.
Y resto cero 0, y 0, y así seguiría para siempre.
Nunca vas a llegar muy lejos haciendo esto,
restando cero 0 cada vez.
Así que ¿cuanto es 20 dividido entre 0?
Es infinito, ¿no?
Seguro...
Seguro que es infinito.
Y esto es lo que espero que piense la gente.
Seguro que sólo un "empollón"
diría otra cosa.
Y ahora es cuando tu cortas Matt
contándoles algo distinto.
MATT PARKER: En primer lugar,
porque todo el mundo sigue ¿porqué
no puedes decir simplemente
que es algo dividido por cero?
Digamos que voy a construir una función.
Voy a utilizar la función 1/x.
JAMES GRIME: No decimos que algo es
igual a infinito ¿de acuerdo?
porque infinito no es un número, y no podemos
tratarlo como un número.
Es una idea.
No podemos decir que 1 dividido por 0 es igual a infinito.
No podemos decir eso como no podemos decir que 1 dividido por 0
es azul.
Pero yo soy malvado, y lo hago,
1 dividido entre 0 es igual
infinito, de la misma forma que
2 dividido entre 0
es igual a infinito.
Y obviamente aquí hay un problema.
Parece que entonces 1 es igual a 2.
Oh, vemos que esto son tonterías.
Y esto es por lo que - por una buena razón -
no decimos que es igual a infinito.
Llegarías a sinsentidos como que 1 es igual a 2.
MATT PARKER: ¿Y qué pasa si haces un límite?
¿Qué ocurre si haces el límite cuando x
se acerca a 0?
¿Esto no es igual a infinito?
Y podrías decir que realmente, dividiendo por cero,
puedes llegar a la conclusión de que 1
dividido por 0 es igual a infinito.
Voy a demostrarte por qué no puedes hacer eso.
Imagina la recta numérica, aquí.
Esta es la recta numérica.
Pongo el 0 aquí.
De modo que el 0 esté en el centro.
Y aquí, este podría ser el 1, y así sucesivamente.
A medida que vas avanzando, por aquí, voy a dibujarlo...
Este eje va en aumento.
Esto de aquí es 1/x.
Voy a poner 1/x aquí.
Sobre este punto 1, esto sería más o menos 1.
Cuando retrocedes, digamos hacia 1/2 esto va a ser
un poco mayor.
Va a ser el doble de grande.
Cuando bajes hasta 1/4 esto va a ser
el doble otra vez.
Y si vienes -- cuando te vas acercando más y más--
esto sigue, totalmente de acuerdo, -- se hace más y más grande.
Esto se dipara.
Y tiende a infinito.
Es totalmente correcto.
Pero sólo funciona si te estás acercando a 0
por los números positivos, si te acercas por el lado derecho
de la recta numérica.
Si te acercas por la izquierda, es totalmente distinto.
Si empiezas sobre el 1 negativo, entonces el valor
es 1 por debajo.
Si vas a 1/2 negativo, se baja al
2 negativo.
Y cuando te acercas cada vez más el valor se dispara
en esta dirección.
De hecho, se dispara hacia menos infinito.
Así que si te acercas a cero en una
dirección, vas a infinito.
Pero si te acercas de otra manera exactamente al
mismo punto, tienes-
bueno, no puedes tener nada más
que el infinito negativo.
Y mucha gente me gritará si digo que infinitamente
distinto del infinito positivo, blah, blah, ...
Quizá esta linea traza un camino alrededor
de todo el universo y vuelve otra vez aquí.
Pero en lo que nos concierne a nosotros, si vienes de
una dirección tienes una respuesta,
y si vienes de la otra dirección
tienes una respuesta distinta,
aunque vayas al mismo lugar.
No hay un límite al que vayas acercándote cada vez más
dividiendo por 0.
Hay más de un límite con
respuestas completamente distintas.
Por eso decimos que es indefinido.
Matemáticamente, decimos lo que podemos decir--
Quiero azul esta vez, lo siento.
Si te acercas al límite cuando x tiende a cero desde
la dirección positiva, vale infinito positivo.
Y por otro lado, aquí, el límite cuando x
se acerca a 0 desde la dirección negativa de 1/x es igual
a infinito negativo.
Y son distintos.
Son iguales a cosas distintas.
Simplemente, no podemos asumir que 1/0 es infinito.
JAMES GRIME: Si vas hacia 0 desde esta dirección
sale más infinito.
Y si vas hacia cero desde esta dirección
sale menos infinito--
dos respuestas distintas.
BRADY HARAN: Si escribo 1/0 en mi calculadora
o en mi ordenador, no puede calcularlo.
No puede manejarlo.
¿Qué está intentando hacer?
¿Qué es lo que no puede hacer?
¿Qué ocurre en los circuitos?
¿Qué es lo que intentan hacer, y fallan?
¿O es que la calculadora está enseñada?
MATT PARKER: Oh, ¡esa es una buena pregunta!
¿Está intentando hacer algo, y
no llega a una respuesta?
¿O le han enseñado a no dividir por 0?
Sinceramente, no lo sé.
Sospecho que le han enseñado que si alguien pulsa
"divide por 0", diga "error".
O puede que realmente intente llegar a una
respuesta mediante un proceso iterativo, que
explota en un sentido u otro.
Y tiene algún tipo de tope o algún tipo
de interruptor de seguridad que termina, diciendo "este
cálculo está fuera de control".
"Termina aquí".
Dí sólo "error matemático".
Puede variar de un dispositivo a otro,
pero supongo que será una de estas dos opciones.
La otra cosa que molesta mucho a la gente es
cuando tienes 0 elevado a 0.
La razón por la que esto les incomoda es
que si tienes cualquier otra cosa,
cualquiera, elevada a 0
siempre dices que es igual a 1.
Y cuando tienes 0 elevado a cualquier potencia, siempre
es igual a 0.
¿Qué ocurre cuando chocan los dos?
Y la gente, para ser honesto, argumenta de diferente forma dependiendo
de lo que necesitan.
La mayoría de las veces, la gente defiende
que 0 a la 0 es igual a 1,
según mi experiencia, aunque en
el video que hice sobre 345 para
Numberphile, había quien en los
comentarios defendía que 0
a la 0 debería ser 0, lo que es,
por supuesto, igual de absurdo.
Voy a mostrarte porqué no puede ser así.
Y es absolutamente encantador,
porque cuando empiezas con tu
recta numérica--
esto es una recta numérica normal.
Hay un 0 en el centro.
Miramos el límite cuando x tiende a 0
Esta vez, nuestra función es x elevado a x ¿si?
Y vamos a deslizarnos por ella.
De hecho tenemos que hacerlo desde las dos direcciones.
Tenemos que llegar desde la dirección positiva.
Y como sabemos, tenemos que mirar también el límite cuando x
tiende a cero desde la dirección negativa de x a la x.
Vamos a ver lo que pasa.
Obviamente si son diferentes las cosas van
a ir horriblemente mal.
Si dibujo mi eje "y" aquí.
Aquí es donde voy a dibujar x a la x.
Cuando te vas acercando --
y para ser honesto, el camino que sigamos es irrelevante.
Lo que ocurre es que cuando vienes de un
lado, llegas al 1.
Y cuando vienes del otro lado, llegas al 1 también.
De hecho, tienes exactamente la misma respuesta.
Las dos te dan 1.
Y dices: bien, no importa desde qué lado
vienes, si podemos recorrer la recta numérica
de esta forma, hasta el centro, o si venimos por la
recta numérica de esta otra forma
hasta el medio, en ambos casos
la función tiene el mismo límite,
podemos asegurar que es 1.
Sin embargo es un poco más complicado,
porque esto es sólo
para la recta numérica real.
No voy a entrar en esto.
Pero la recta real es muy aburrida, porque es
unidimensional.
Sólo puedes ir adelante y atrás en los números.
También tienes los números complejos.
Para ello tienes que colocar los imaginarios.
Así que voy a ponerlos.
Este es mi eje imaginario.
Ahora tienes esta superficie entera de números.
Tienes los reales en una dirección,
y los imaginarios en la otra.
Y cualquier punto está en el plano complejo.
Ahora hay muchas formas diferentes de acercarte
hacia el origen.
Puedes acercarte desde cualquier parte del plano complejo.
Y con esas aproximaciones consigues
límites distintos.
Nunca más tienes el 1.
Empiezas a desviarte cuando entras en el plano complejo.
Y es por esto que aunque sobre la superficie
podría parecer que el límite debe ser 1, esto no funciona
cuando usas los números complejos.
Por esto los matemáticos se emocionan mucho cuando
tratas de decir que 0 a la 0 tiene un valor.
De hecho, es indefinido porque los límites varían.
JAMES GRIME: ¿Qué me dices de algo como x dividido entre y?
Voy a dibujarlo --
aquí está x y aquí está y.
Si pienso en x dividido entre y --
BRADY HARAN: Mueve un poco el papel.
JAMES GRIME: Si pienso en x dividido entre y, va a ir bien,
excepto aquí.
Esto se llama el origen.
Es el punto (0,0).
x es igual a 0 e y es igual a 0.
Así que en ese punto tenemos algo de la forma
0 dividido por 0.
Esto no suena nada bien.
¿Qué es eso?
¿Es 0?
¿Es infinito?
¿Qué es?
De hecho puede ser el valor que tú quieras, dependiendo del
ángulo con el que te acercas.
Voy a mostrarte lo que quiero decir.
Esta línea es y igual a x.
Esta recta.
Si vamos a lo largo de esta recta, entonces
esto de aquí, x/y--
¿Por qué dije que esta y es igual a x?
Esto es realmente x dividido por x, que es 1.
Así que esto es 1.
A todo lo largo de esta recta es 1.
Así que todo va bien si sólo viajo a lo largo de esta recta.
Yo estaría muy contento diciendo que también vale 1.
Todo lo demás es 1.
Así que digo, bien, es 1.
Esto se llama una singularidad evitable.
Ese es su nombre.
Si viajo en esta otra dirección, esta es la recta y
igual a menos x.
Si hago eso, y igual a menos x.
En este caso tengo x dividido por y.
y es igual a menos x.
Así que es menos 1.
A lo largo de esta recta es siempre menos 1.
Ahora vamos a probar con esto.
Voy a viajar a lo largo del eje x.
Eje x--
En otras palabras, esto es y igual a 0.
Eso es el eje x.
Así que y es igual a 0.
Si hago eso, tengo x dividido por y.
Y dije que y es igual a 0.
Así que esto es x dividido por 0.
¡Vaya!
Bueno, sabemos que esto es un problema.
Pero va a ser algo... voy a ser malvado.
Se va a ir a infinito--
más infinito, menos infinito.
Es algo como eso.
Si voy a lo largo de esta dirección, que es el eje y,
x es igual a 0.
Y tienes lo mismo, ¿de acuerdo?, x es igual a 0.
Así que voy a decir 0.
x es igual a 0.
Divídelo por y.
¿Qué es 0 dividido por 1?.
Todo en esta recta es igual a 0.
Así que está justificado decir que este punto es
el único problema.
Quítalo, y llámale 0.
Así que depende de con qué ángulo te acerques al 0.
De hecho puedes conseguir cualquier número.
Yo he conseguido 1, menos 1, infinito, y 0.
Y dependiendo con qué ángulo llegues, puedes
conseguir que salga el número que tú quieras.
Así que 0 dividido por 0 es esta propiedad llamada "indefinido".
Realmente podemos conseguir que
sea lo que queramos que sea
dependiendo del ángulo con
el que lleguemos.
[voces cruzadas]
MATT PARKER: Tiene que ver con el ángulo
el tipo de resultado
que puede salir--