Tip:
Highlight text to annotate it
X
Para esta expresión vamos a determinar
a qué es igual
dy/dx
o sea
la derivada
de la variable "y" con respecto a la variable "x"
En esa expresión tenemos que
"y" es la variable dependiente
y "x" es la variable independiente
pero como están combinadas
esas dos letras
en esa
expresión, entonces debemos
proceder
con lo que se llama la Derivación Implícita
entonces vamos a derivar
implícitamente
ambos lados
de la igualdad
con respecto a la variable "x"
Esto quiere decir que cada vez que derivemos algo que contenga la variable "y"
debemos anexar dy/dx
incluso por comodidad se puede trabajar con ( y' )
durante el procedimiento
y al final ( y' ) se cambia
por dy/dx
Entonces comencemos
en el lado izquierdo
de la igualdad observamos un producto
entonces debemos
utilizar
la regla
de las derivadas
que corresponde
a un producto
entonces
vamos a recordarla
si tenemos un producto de dos componentes "a" y "b"
tenemos que la derivada de esto es igual
a la derivada del primer componente
por el segundo sin derivar
más el primer componente sin derivar
por la derivada del segundo
entonces vamos a usar esta regla
para derivar
esta parte
lo que corresponde al lado izquierdo
de la igualdad. Veamos:
Derivada de "x" al cuadrado
es 2x
esto multiplicado por el segundo componente sin derivar
que es tangente de la variable "y"
más el primer componente sin derivar
que es "x" al cuadrado
por la derivada del segundo componente
la derivada de tangente de la variable "y"
es secante al cuadrado de la variable "y"
pero como hemos derivado algo que contiene la variable "y"
entonces agregamos ( y' )
es decir multiplicamos por lo que se llama la derivada interna
la derivada de la variable "y" con respecto a la variable "x"
es decir dy/dx, pero que por comodidad
se escribe como ( y' )
Pasamos al lado derecho de la igualdad
donde también observamos un producto
dos componentes
donde están presentes las dos variables "x" y "y". Entonces de nuevo usamos
la regla el producto
para derivadas
Derivada del primer componente
es
derivada de la variable "y" que es 1, por ( y' ) o simplemente ( y' )
entonces, derivada de la variable "y" es ( y' )
Ya tenemos la derivada del primer componente
y esto es multiplicado por el segundo componente sin derivar
que es seno de "x"
más, el primer componente sin derivar que es la variable "y"
por la derivada del segundo componente
la derivada de seno de "x" es
coseno de
"x"
En el paso siguiente vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad
aquellos términos que contienen ( y' )
entonces veamos: Se queda este término
que es "x" al cuadrado
por secante al cuadrado de la variable "y"
por ( y' )
y pasamos
este término
que está positivo entonces llega negativo
como ( y' )
por seno de "x"
y en el lado derecho de la igualdad
vamos a ubicar
los términos que no contienen ( y' )
entonces se queda la variable "y"
por coseno de "x"
y traemos este término
que llega acá negativo
-2x
por tangente de la variable "y"
Paso siguiente
extraemos en este lado factor común ( y' )
entonces tenemos
que ( y' )
es factor común de
"x" al cuadrado
secante al cuadrado de la variable "y"
menos
seno de "x"
y esto es igual
a la misma expresión
que tenemos en el lado derecho
Por último
despejamos ( y' )
de esta igualdad. Entonces tendremos que ( y' )
será igual a
toda esta expresión
dividida entre ésta
todo eso que está multiplicando pasa al otro lado a dividir
entonces nos queda de la siguiente manera
una fracción
aquí en el numerador
esta expresión
La variable "y" multiplicada por coseno de "x"
menos
2x
por tangente de la variable "y"
y en el denominador nos queda todo esto
"x" al cuadrado
por secante al cuadrado de la variable "y"
menos
seno de
"x"
Para finalizar
cambiamos ( y' )
por dy/dx
como decíamos durante el proceso
es más cómodo
trabajar con ( y' )
pero al final se recomienda
escribir dy/dx porque se especifica mejor
cuál ha sido la derivada, es decir
se especifica cuál es la variable dependiente
y cuál es la variable independiente
O en otras palabras
la variable con respecto de la cual
se hizo todo el proceso de derivación
De esta manera encontramos dy/dx y terminamos el ejercicio.