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esto está haciendo el barrido, y el total de todo eso
no está cambiando en el tiempo -
esto es una generalización, obviamente, de la otra.
Por cierto, el total de eso se llama el momento angular, y esto se llama la ley
de conservación del momento angular ("Conservación" simplemente significa
que no cambia.)
Ahora, una de las consecuencias de esto es-
simplemente para mostrar para lo que va bien - imaginad
un montón de estrellas cayendo juntas para formar una nebulosa o
una galaxia.
A medida que se van acercando -
si están muy lejos, y se mueven lentamente para que haya un poco de área siendo
generada pero con brazos
(distancias desde el centro) muy largos,
entonces si la cosa
colapsa,
las distancias al centro son más cortas ahora (si las estrellas están ahora
juntas), entonces estos
radios son más pequeños. Y para poder barrer la misma área,
tienen que ir mucho más rápido.
Así que a medida que las cosas se acercan,
ellas se arremolinan y de este modo podemos entender aproximadamente la forma
cualitativa
de la nebulosa espiral.
Podéis entender también, de la misma manera -
exactamente de la misma manera -
la manera en la que un patinador gira:
cuando comienzas con una pierna fuera, moviéndote
lentamente, y a medida que tiras la pierna hacia adentro, se gira más rápido (porque cuando la pierna
está fuera, está contribuyendo, cuando se está moviendo lentamente, una cierta cantidad de área
por segundo),
y entonces, cuando viene hacia adentro, para tener la misma área, tienes que girar más rápido.
Pero no lo he probado par el patinador: el patinador
usa fuerza muscular;
la gravedad es una fuerza diferente -
sin embargo es una prueba para el patinador.
Ahora tenemos un problema:
nosotros podemos deducir a menudo
de una parte de la física, como la ley de la gravitación, un principio
¡que resulta ser algo mucho más
válido que la derivación!
Esto no ocurre en matemáticas - que los teoremas aparezcan en lugares donde no
se espera que estén.
En otras palabras,
si nosotros decimos que los postulados de la física fueran esta ley de la gravitación, nosotros
podríamos deducir
la conservación del momento angular, pero sólo para la gravitación.
Pero nosotros descubrimos experimentalmente
que la conservación del momento angular es algo mucho más amplio.
Ahora Newton tuvo otros postulados por los cuales él pudo obtener la ley
más general de conservación del momento angular,
pero las leyes de Newton estaban equivocadas: no hay fuerzas, es todo un montón de tonterías, las
partículas no tienen órbitas, etcétera.
Sin embargo, el análogo - la exacta
transformación de este
principio sobre el área como la conservación del momento angular - es cierto
para los movimientos atómicos
en la mecánica cuántica - y es todavía, hasta donde podemos saber hoy, exacto.
Así que tenemos estos amplios principios los cuales
cubren las diferentes leyes,
y si uno se toma demasiado seriamente estas derivaciones,
y siente que esto es solamente válido porque es válido,
no puedes
entender las interconexiones de las diferentes ramas de la física.
Algún día,
cuando la física esté completa,
entonces quizás con este tipo de argumento conoceremos ttodas las leyes, entonces podremos comenzar
con algunos axiomas - y sin duda alguien encontrará una manera particular
de hacerlo,
y entonces se harán todas las deducciones. Pero mientras no conozcamos todas las leyes,
nosotros
podremos usar algunas para hacer suposiciones en los teoremas,
que se extienden más allá de la prueba.
Por lo que para poder entender la física, uno debe siempre tener
un cuidado balance
y tener en su cabeza todas las diferentes
proposiciones y sus interrelaciones,
porque las leyes a menudo se extienden más allá del rango de esas deducciones.
Esto no tendrá importancia solamente cuando todas las leyes sean conocidas.
Otra cosa que es interesante
en la relación de las matemáticas
con la fisica es esta - una cosa muy extraña:
que mediante argumentos matemáticos tú puedes mostrar
que puedes comenzar desde muchísimos puntos aparentemente diferentes y
llegar a la misma cosa.
Esto está bastante claro, si tienes axiomas; puedes usar algunos de los teoremas.
Pero realmente,
las leyes físicas están tan
delicadamente construidas
que las diferentes pero equivalentes declaraciones de ellas tienen caracteres cualitativamente diferentes, y
esto las hace muy interesantes. Así que si me lo permitís, voy a declarar la ley de la gravitación
de tres maneras diferentes-
todas de las cuales son exactamente equivalentes, pero resulta que
parecen completamente diferentes.
Uno: están las fuerzas entre los objetos como se ha descrito antes,
y cada objeto,
cuando ve la fuerza en él,
acelera - o cambia su movimiento,
en una cierta cantidad por segundo,
como hemos descrito antes - de la manera normal; lo llamo la Ley de Newton.
Ahora, hay una manera completamente diferente:
esta ley dice que la fuerza depende de algo
que está situado a una distancia finita.
Mirad, esto tiene lo que llamamos una cualidad "no local";
la fuerza en él depende de aquél que está por allí.
No te puede gustar
la idea de una acción a distancia -
que puede "saber" lo que está pasando por allí -
por lo que entonces hay otra manera de declarar las leyes, las cuales son muy
extrañas, y es la manera de representar
las leyes mediante "campos".
y es bastante difícil de explicar,
pero quiero daros una somera idea
de lo que es.
Y dice una cosa diferente, una cosa completamente diferente:
que hay un número en cada punto del espacio - sé que es un número, no es
un mecanismo, es el problema con toda esta física, que debe ser matemática.
Hay un número en cada punto del espacio -
aquí hay un número, aquí hay un número, etcétera.
Y el número cambia cuando vas de un lugar a otro.
Si un objeto está situado en uno de estos puntos
en algún lugar en el espacio,
la fuerza en él está
en una dirección en la cual ese número -
yo lo llamo con el nombre que se le ha
dado, que es "potencial" -
está en la dirección en la cual ese potencial
cambia tan rápido como puede.
Y la fuerza es proporcional a lo rápido que cambia cuando se mueve.
Esto es una declaración, no es suficiente,
todavía, porque tengo que decirte
cómo determinar la manera en la que varía el potencial.
Yo podría decir que el potencial varía inversamente a la distancia desde cada objeto,
pero eso es volver a la idea de una acción a distancia.
Sin embargo -la fuerza está a una distancia, pero- puedes declarar la ley de otra manera, y ésta dice
lo siguiente:
tú no tienes que conocer lo que ocurre en cualquier lado fuera de una pequeña esfera;
si tú quieres saber cuál es el potencial aquí,
me dices cuál es en la superficie
de cualquier esfera, sin importar lo pequeña que sea-
no tienes que mirar fuera, en las cercanías
ni cuanta masa hay en la esfera.
La regla es esta:
que el potencial
en el centro
es igual
a la media
del potencial en la superficie de la pequeña esfera,
menos esta constante (que está encima de la otra ecuación),
dividida por el doble del
radio de la esfera (supongamos que el radio de la esfera se llama "a")
y entonces multiplicamos por la masa que está dentro de la esfera -
si la esfera es lo suficientemente pequeña.
Ahora ves que esta ley
es diferente a la otra, porque solamente dice lo que ocurre en un punto
en términos de lo que ocurre muy cerca de ella.
Las leyes de Newton dicen lo que ocurre en un tiempo
en términos de lo que ocurre en otro instante-
salta de instante en instante,
para resolverlo- pero en el espacio salta de lugar a lugar. Pero esta cosa
es a la vez local en el tiempo y local en el espacio,
porque depende sólo de lo que ocurre en sus cercanías.
Y también hay otra manera
de representarlo, esto
es otra manera, una manera completamente diferente.
Hay una diferencia en la filosofía, en las
ideas cualitativas involucradas. ¿No te gusta la acción a distancia? Puedes tirar adelante sin eso.
Ahora voy a mostraros una que es filosóficamente el opuesto exacto,
en la cual no hay ninguna discusión sobre como funciona en su camino
de lugar a lugar,
en la cual toda la cosa es una declaración total,
va así:
cuando tú tienes otras partículas alrededor, y quieres conocer cómo se mueve esta
de un lugar a otro
haces como sigue.
Tú calculas una cierta cantidad - te inventas un movimiento posible
que vaya de un lugar determinado
a otro lugar en el que estés interesado,
en una cierta cantidad de tiempo. Digamos que queremos ir de aquí a aquí en una hora,
y tú quieres conocer por qué ruta puede ir de ahí a ahí en una hora-
por qué curva.
Así que lo que haces es, calculas una cantidad, suponiendo la curva; si intentas esta curva,
calculas un cierto número para esta cantidad.
(no quiero decir
qué cantidad es, pero para aquellos que han oído estos términos,
esta cantidad en esta
ruta es la media
de la diferencia entre la energía cinética y potencial.)
Ahora si calculas esta cantidad para esta ruta,
y la cantidad para otra ruta,
obtienes, por supuesto, diferentes números para la respuesta.
Pero hay una ruta que te da el menor número posible para eso,
y esta es la ruta que la partícula toma.
Ahora estamos describiendo el movimiento real - la elipse-
diciendo algo sobre toda la curva.
Hemos perdido la idea de causalidad- que la partícula está aquí,
ella ve la atracción, se mueve hasta aquí.
En vez de eso, de algún modo,
"huele" todas las curvas de alrededor - todas las posibilidades -
y "decide" cuál tomar.
Esto es un ejemplo del amplio abanico de preciosas maneras de describir a la naturaleza.
Y aquello que la gente habla cuando dice que la Naturaleza debe tener causalidad-
bien, podrías decirlo de esa manera;
la naturaleza debe ser expresada en términos de un principio mínimo-
bien, puedes hablar sobre esto de esta manera,
la Naturaleza puede tener un campo local - por lo que puede hacer esto.
Y la cuestión es,
cuál es correcta?
Si estas diferentes alternativas
no son exactamente equivalentes matemáticamente,
y si para ciertas de elleas hay diferentes consecuencias que para otras,
entonces es perfectamente correcto, porque nosotros solamente tenemos que hacer
los experimentos para encontrar
de qué manera realmente la naturaleza escoge hacerlo.
Mucha gente viene y argumenta filosóficamente que a ellos les gusta esta
mejor que esta otra, pero hemos aprendido de mucha experiencia
que todas las intuiciones sobre lo que la naturaleza va a hacer filosóficamente fallan -
nunca funciona.
Uno simplemente tiene que trabajar todas las posibilidades, y simplemente probar todas las
alternativas.